Herleiten Regel von Sarrus

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MathsFreak1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Herleiten Regel von Sarrus
Meine Frage:
Leiten Sie die Berechnung der Determinante für 3x3 Matrizen, d.h. die Regel von Sarrus mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes her.

Hinweis:

Die Regel von Sarrus bezeichnet die Addition der Produkte der Hauptdiagonalelemente und die anschließende Subtraktion der Produkte der Nebendiagonalelemente.

(a11 a12 a13) a11 a12
(a21 a22 a23) a21 a22
(a31 a32 a33) a31 a32

-> hier sind die Hauptdiagonalelemente und Nebendiagonalelemente in dieser Abbildung über Linien gekennzeichnet/verbunden.


Meine Ideen:
Ich weiss, dass man bei der Regel von Sarrus, die erste und zweite Spalte neben der Koeffizientenmatrix hinschreibt und dann entsprechend vorgeht, wie oben beschrieben (Produkte der Hauptdiagonalelemente addieren und die Produkte der Nebendiagonalelemente subtrahieren.

Die Regel von Sarrus eignet sich für 3x3 Matrizen.

Der Laplacesche Entwicklungssatz eignet sich für beliebige nxn Matrizen zur Determinantenberechnung.

Ich lege hier ein schachbrettartiges Muster über die Koeffizientenmatrix und entwickle nach einer beliebigen Stelle (günstig wäre es an der Stelle, wo am Meisten Nullen vorkommen, weil viele Terme hier entfallen) und setze in die Formel:

det (A)= Summe über j=1 bis n für (-1)^(i+j) aij det (Mij) = Summe über i=1 bis n für aijkij ein.

Aber inwiefern komme ich jetzt auf die Herleitung? Könnte mir jemand behilflich sein?

Vielen Dank im Voraus.
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RE: Herleiten Regel von Sarrus
Entwickle nach der ersten Spalte und sortiere die auftretenden Terme dann um.
 
 
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin soweit:

Entwicklung nach 1. Spalte:

M11=
(a22 a23)
(a32 a33)

det (M11)= a22*a33-a32*a23

M21=
(a12 a13)
(a32 a33)

det (M21)= a12*a33-a32*a13

M31=
(a11 a13)
(a22 a23)

DET (M31)= a11*a23-a22*a13

ist es so korrekt?
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Einsetzen in die Gleichung: j=1

det (A)= Summe über i=1 bis 3 (-1)^(i+1) det(Mi1)

= (-1)^2 a11 det(M11) + (-1)^3 a21 det (M21) + (-1)^4 a31 det (M31)
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M31 ist falsch
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

M31= (a12 a13 )
( a22 a23)

det(M31)= a12*a23-a22*a13
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte gerade einen Tippfehler. verwirrt

Nun müsste ich noch das in die obige Gleichung einsetzen, oder? (s. letzter Beitrag)

Oder wäre das Beweis hiermit fertig?
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M31 ist jetzt richtig.
Wie gesagt: Terme so arrangieren, dass man Sarrus direkt erkennt.
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

= a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32 - a31*a22*a13 - a32*a23*a11 - a33*a21*a12

?

Ich habe aber nicht mit den Termen gearbeitet.

det(M11)= a22* a33-a32*a23
det (M21)= a12*a33-a32*a13
det(M31)= a12*a23-a22*a13
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Da steht jetzt völlig zusammenhanglos ein Gleichheitszeichen, ein Fragezeichen und ein für mich unverständlicher Satz unglücklich Schreib ordentlich auf, was du meinst, dann antworte ich auch wieder.
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

die Terme wären geordnet:

= a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32 - a31*a22*a13 - a32*a23*a11 - a33*a21*a12

Dies ist die Regel von Sarrus.

Stimmt das denn so? Big Laugh
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Ja, so sieht das besser aus.
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aber nicht wirklich "geordnet", sondern die Regel von Sarrus aufgeschrieben.
Ich hätte doch die Terme ordnen müssen, oder?

det(M11)= a22* a33-a32*a23
det (M21)= a12*a33-a32*a13
det(M31)= a12*a23-a22*a13

Voraussetzung ist, dass man die Regel von Sarrus kennen muss, um die Aufgabe zu lösen. Wie kriegt man es denn hin ohne die Regel von Sarrus zu wissen ? Hammer
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFredo1
Ich habe aber nicht wirklich "geordnet", sondern die Regel von Sarrus aufgeschrieben.
Ich hätte doch die Terme ordnen müssen, oder?

det(M11)= a22* a33-a32*a23
det (M21)= a12*a33-a32*a13
det(M31)= a12*a23-a22*a13

Voraussetzung ist, dass man die Regel von Sarrus kennen muss, um die Aufgabe zu lösen. Wie kriegt man es denn hin ohne die Regel von Sarrus zu wissen ? Hammer



weil in den Termen taucht bspw. kein a11 auf, welches aber wiederrum in der Regel von Sarrus auftaucht.
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Offensichtlich war ich zu optimistisch, du hast noch keine Ahnung:
Berechne die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte, multipliziere alle Summanden aus und sortiere die entstehenden sechs Summanden so um, dass die Regel von Sarrus da steht. Das ist der Sinn dieser Aufgabe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und verwende vor allem LATEX, damit man die Formeln lesen kann. Am Anfang ist das etwas mühsam, aber der Aufwand macht sich bald bezahlt. Fürs erste kann der Formeleditor hilfreich sein.
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

"Berechne die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte &
multipliziere alle Summanden aus":

det(M11)= a22* a33-a32*a23
det (M21)= a12*a33-a32*a13
det(M31)= a12*a23-a22*a13

"sortiere die entstehenden sechs Summanden so um, dass die Regel von Sarrus da steht.“:

die Regel von Sarrus lautet:

a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32 - a31*a22*a13 - a32*a23*a11 - a33*a21*a12

in der Regel von Sarrus tauchen a11, a21 und a31 auf. Werte, die oben in den sechs Summanden nicht vorkommen. (-> ich habe ja ausgehend von der ersten Spalte entwickelt)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre so einfach, wenn der Herr das nur einmal ordentlich aufschreiben würde. Aber dafür ist der Herr zu bequem.



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@Leopold: Du hast so recht. Seine Bequemlichkeit nervt echt böse
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der 1. Spalte entwickelt:

M11=



det (M11)= a22*a33-a32*a23

M21=



det (M21)=a12*a33-a32*a13

M31=



det (M31)= a12*a23-a22*a13

So, diesmal in Latex Schreibweise. smile
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Das ist Unfug. Die Determinante der 3x3 Matrix ist doch nicht gleich der Determinante der 2x2 Matrix.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Damit soll gemeint sein, dass ich nach der ersten Spalte entwickelt habe, d.h. alle Zahlen in derselben Spalte und Zeile "zugehalten" habe. Der Ausdruck auf der rechten Seite (2x2-Matrix) ist jeweils die entw. Spalte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du nicht bemerkt, daß ich für dich bereits nach der 1. Spalte entwickelt habe? Schau dir das System noch einmal genau an.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Hast du nicht bemerkt, daß ich für dich bereits nach der 1. Spalte entwickelt habe? Schau dir das System noch einmal genau an.


Edit: erkenne es jetzt. Du hast aber andere Koeffizienten genommen statt a11 etc..?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFredo
Du hast aber andere Koeffizienten genommen statt a11 etc..?


Ja, das war echt gemein von mir ...
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »





so?

a11 ( a22*a33 - a32*a23) - a21 * ( a12*a33-a32*a13) + a31 ( a12*a23-a22*a13)

ausmultipliziert und schön sortiert:

a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32 - a31*a22*a13 - a32*a23*a11 - a33*a21*a12
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Inhaltlich korrekt. Die Formel ist jetzt lesbar, wenn auch nicht perfekt. Für Indizes benutze den Unterstrich. Klicke bei diesem Beitrag auf "Zitat", dann siehst du, wie man das macht:

EDIT
Ich hätte dich nicht loben sollen, denn jetzt kommst du schon wieder damit:

Zitat:
Original von MatheFredo
a11 ( a22*a33 - a32*a23) - a21 * ( a12*a33-a32*a13) + a31 ( a12*a23-a22*a13)
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

die Formel von Sarrus ist nun oben auch enthalten.
Endlich hat es Klick gemacht. Danke an @URL und @Leopold!!
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Inhaltlich korrekt. Die Formel ist jetzt lesbar, wenn auch nicht perfekt. Für Indizes benutze den Unterstrich. Klicke bei diesem Beitrag auf "Zitat", dann siehst du, wie man das macht:

EDIT
Ich hätte dich nicht loben sollen, denn jetzt kommst du schon wieder damit:

Zitat:
Original von MatheFredo
a11 ( a22*a33 - a32*a23) - a21 * ( a12*a33-a32*a13) + a31 ( a12*a23-a22*a13)


wie dann? soll ich es beim Schritt zuvor schon belassen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um den Inhalt, sondern um die Form. Es ist auch eine Frage der Höflichkeit, wie man etwas präsentiert und seinen Mitmenschen gegenübertritt. Aber vielleicht bin ich ja auch nur zu altmodisch ...
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Du wünschst Dir statt Klammern, gerade Striche (= die Determinantenschreibweise)?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende LATEX zum Schreiben von Formeln. Wenn du das noch nicht kannst, wirst du es sowieso irgendwann einmal lernen müssen.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »









hättest du es gerne so gehabt? bzw. ist dies formal korrekt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist NICHT korrekt!
Bei den Differenzen der Produkte schreibe KEINE senkrechten Striche (was meinst du denn damit, das wäre der Betrag, und DAS kann frank ins Auge gehen (!). Dahin gehören Klammern und nichts anderes.

Und die Indices gehen in Latex so: a_{11}



mY+
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