Stetigkeit x^3

06.01.2019, 18:15

LuckyL

Stetigkeit x^3

Meine Frage:
Hallo,

ich soll zeigen, dass die Funktion x^3 auf dem Intevall [0;b] gleichmäßig stetig ist, b soll dabei Element der positiven reellen Zahlen sein.

Meine Ideen:
Das Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit ist mir bekannt.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} | x^{3} - x_{0}^{3} | < \in \end{eqnarray*}$
Aber hier weiß ich jetzt nicht, wie ich weiter umformen muss um auf mein Delta zu kommen.

06.01.2019, 18:27

Leopold

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Die Zerlegung $\begin{align*} x^3 - {x_0}^3 = \left( x - x_0 \right) \cdot \left( x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \right) \end{align*}$ könnte hilfreich sein. Versuche, den hinteren Teil unabhängig von $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ abzuschätzen.

06.01.2019, 18:31

LuckyL

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Hi,

erstmal danke für deine schnelle Hilfe! Freude

Wenn ich das wie von dir genannt abschätze habe ich doch sogar mit dem Faktor (x-x0) schon Delta in gewisser Form gegeben oder?

Aber was meinst du damit, dass ich versuchen soll den hinteren Teil unabhängig von x und x0 abzuschätzen, dass ist mir leider nicht ganz klar.... verwirrt

06.01.2019, 18:39

Leopold

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Überlege, daß es eine von $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ unabhängige Konstante $\begin{align*} C>0 \end{align*}$ gibt, so daß $\begin{align*} \left| x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \right| \leq C \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,x_0 \in [0,b] \end{align*}$ gilt. Dann kannst du folgendermaßen abschätzen:

$\begin{align*} \left| \, x^3 - {x_0}^3 \, \right| = \left| x - x_0 \right| \cdot \left| \, x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \, \right| \leq C \cdot \left| x - x_0 \right| \end{align*}$

Und jetzt wähle zu $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein passendes $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ , so daß du den letzten Ausdruck unter $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ drücken kannst.

06.01.2019, 19:00

LuckyL

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Es muss doch dann gelten C * x - x0 < E oder ?
Dann könnte ich sagen, dass Delta kleiner sein muss als E/C oder habe ich das jetzt komplett falsch gemacht? verwirrt

Das abschätzen mit dem C habe ich übrigens so in dieser Form zum ersten Mal gesehen, da hätte ich noch lange tüfteln können Big Laugh

06.01.2019, 19:08

Leopold

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Zitat:

Original von LuckyL
Es muss doch dann gelten C * x - x0 < E oder ?

Klammern findest du wohl nicht so toll ... Finger2

Du mußt dieses $\begin{align*} C \end{align*}$ zunächst einmal bestimmen. Seine Existenz kannst du nicht einfach so voraussetzen.
Was ist nun ein passendes $\begin{align*} C \end{align*}$ ?

06.01.2019, 20:38

LuckyL

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Ok ich hab gedacht du setzt einfach voraus, dass es ein C geben muss, welches größer ist als der Ausdruck in der Klammer.
Aber wie ich das jetzt bestimmt da müsstest du mir nochmal auf die Sprünge helfen verwirrt

06.01.2019, 20:47

Leopold

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Betrachte den Term $\begin{align*} \left| \, x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \, \right| \end{align*}$ . Da $\begin{align*} x,x_0 \in [0,b] \end{align*}$ vorausgesetzt ist, wird die Summe in den Betragsstrichen niemals negativ. Man darf also hier die Betragsstriche weglassen:

$\begin{align*} \left| \, x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \, \right| = x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \end{align*}$

Und jetzt überlege, wie groß der Term schlimmstenfalls werden kann. Beachte, was über die Lage von $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ vorausgesetzt ist.

06.01.2019, 22:25

LuckyL

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x kann in dem Term ja höchstens b werden x0 kann ja immer näher an b rankommen, oder auch gleich??

07.01.2019, 05:27

Leopold

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Die Funktion soll im Intervall $\begin{align*} [0,b] \end{align*}$ untersucht werden. Sowohl $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} x \end{align*}$ sind daher höchstens $\begin{align*} b \end{align*}$ . Was ist also der Höchstwert von $\begin{align*} x^2 + xx_0 + {x_0}^2 \end{align*}$ ? Und das ist dann ein mögliches $\begin{align*} C \end{align*}$ .

07.01.2019, 07:12

LuckyL

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Dann ist C größer/gleich 3b^2 Freude

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