0 Grenzwert einer logx Funktion mit x im Bruch zeigen

06.01.2019, 18:44	Outtaspace	Auf diesen Beitrag antworten »
0 Grenzwert einer logx Funktion mit x im Bruch zeigen Guten Abend, komm mit dieser Aufgabe gerade noch nicht so wirklich zurecht. Vllt kann mir jemand einen entscheidenen Tipp geben Würde mich sehr freuen! Hier ist die Aufgabe: Sei a > 1, p 2 R+ und R+ der Definitionsbereich der im Folgenden vorkommenden Funktionen. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{\log_{a} x}{x} = 0 \end{eqnarray}$ Ok habe bisher überlegt ob man es vllt über das Sandwich Kriterium machen kann, kenne allerdings keine Abschätzungen für den Logarithmus... Mein Problem ist eben, dass ich zeigen muss, dass 1/x eben schneller fällt als der log gegen unendlich steigt. Dann habe ich überlegt, ob man es eventuell auch mit den arithmetischen Kriterium der Konvergenz versuchen kann. also $\begin{eqnarray} \| \frac{\log_{a} x}{x} \| < \epsilon \end{eqnarray}$ Und dann irgendwie nach x umstellen, kommt mir aber auch so schwammig vor. Das war alles was ich bisher so an Ideen hatte/versucht habe. Die nächste Teilaufgabe ist übrigens ziemlich ähnlich nur das dann im Bruch x^p steht. Aber vllt wäre es gut erstmal die erste zu klären und das andere lässt sich dann eventuell schon daraus so ähnlich schließen. Liebe Grüße Outtaspace
06.01.2019, 22:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir die Regel von L'Hospital bekannt? [Gilt bei $\begin{eqnarray} \frac 0 0, \frac {\infty}{\infty}, \end{eqnarray}$ .. ] Schreibe zuerst $\begin{eqnarray} \log_a x = \frac 1 {\ln a} \ln x \end{eqnarray}$ , der konstante Faktor kann dann draussen bleiben .. Dann folgt der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac {\ln x} x \end{eqnarray}$ mittels L'Hospital sofort. mY+

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