Schwaches Gesetz der großen Zahlen für Erfolgshäufigkeiten

07.01.2019, 09:23

Fenni

Schwaches Gesetz der großen Zahlen für Erfolgshäufigkeiten

Meine Frage:
Seien X1;...;Xn unabhängige Bernoulli-Variablen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Bezeichne $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} S_{n} = \frac{1}{n}\left(X_{1}+...+X_{n} \right) \end{eqnarray*}$ die relative Erfolgshäufigkeit bei n Versuchen. Dann ist für jede Zahl $\begin{eqnarray*} /alpha \end{eqnarray*}$ >0
$\begin{eqnarray*} P\left\{| \frac{1}{n} S_{n} - p | \geq \alpha \right\} \leq \frac{p(1-p)}{n\alpha^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Was ist denn hier das alpha?

07.01.2019, 09:55

Guppi12

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Hallo,

es steht doch da, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ irgendeine Zahl größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

07.01.2019, 10:01

Fenni

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ja aber wie komme denn auf diese Zahl?

zum Beispiel hier

Seien X1;... ;Xn Zufallsvariablen, die eine Folge fairer Würfelwürfe beschreiben. Das
heißt, die Xi sind alle unabhängig und auf {1;...; 6} Laplace-verteilt. Schätzen Sie die
Wahrscheinlichkeit ab, dass für n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N der Wert 1/n Sn = 1/n(X1 + ... + Xn) zwischen 2 und 5 liegt.

07.01.2019, 10:05

Guppi12

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Das ist ja auf einmal eine ganz andere Aufgabe. Was hat das mit der am Anfang zu tun?

Bleiben wir doch mal bei der Aufgabe vom Anfang.

Du sollst dort gar nicht auf $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kommen. Die Ungleichung, die da steht, gilt für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ . Wenn du sie also beweisen willst, musst du ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ wählen, das heißt, es bleibt einfach als Variable da stehen.

07.01.2019, 10:51

Fenni

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Das am Anfang war was ich im Skript gefunden habe, ich soll nichts beweisen. Wollte nur wissen wie ich das alpha für bestimmte Aufgaben finde.

07.01.2019, 11:03

Guppi12

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Das hängt von der Aufgabe ab, man wird eben solange umformen müssen, bis man einen Ausdruck bekommt, der so aussieht, wie in der Ungleichung. Das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann man dann ablesen.

Allerdings ist das Beispiel, was du gebracht hast, dafür ungeeignet, weil die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ dort nicht Bernoulli-verteilt sind. Glücklicherweise gilt aber für jede Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)|\geq \alpha)\leq \frac{Var(X)}{\alpha^2} \end{eqnarray*}$ , was eine Verallgemeinerung deiner Ungleichung darstellt. Wenn du etwas in der Art auch schon behandelt hast, kann man diese Ungleichung verwenden. Hier am Beispiel etwa so (daran siehst du, dass man nach entsprechender Umformung das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ direkt ablesen kann)

$\begin{eqnarray*} P\left(\frac 1nS_n \in [2,5]\right) = P\left(\frac 1n S_n-3.5 \in [-1.5,1.5]\right) = P\left(\left|\frac 1nS_n-3.5\right|\leq 1.5\right) = 1-P\left(\left|\frac1nS_n-3.5\right|>1.5\right) \geq 1-\frac{Var\left(\frac 1nS_n\right)}{1.5^2} \end{eqnarray*}$ .

Du siehst, $\begin{eqnarray*} \alpha = 1.5 \end{eqnarray*}$ stand einfach so da, das ist kein Hexenwerk. Man sieht sich die Aufgabe an und wenn sie die Form in der Ungleichung hat, nimmt man die Zahl, die statt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ an dieser Stelle steht.

Wenn es nicht gelingt, eine Gleichung aufzustellen, in der die Ungleichung anwendbar ist, dann ist die Ungleichung eventuell einfach ungeeignet für die Aufgabe. Es gibt eben keine Patentrezept für alles.

07.01.2019, 11:25

Fenni

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woher kommt $\begin{eqnarray*} P\left(\frac{1}{n} S_{n} - 3,5 \in \left[-1.5,1,5\right] \right) \end{eqnarray*}$ , also die -1.5 und 1.5?
sorry ich bin einfach nicht so gut in Stochastik ^^

07.01.2019, 11:30

HAL 9000

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Das hat nichts mit Stochastik zu tun, sondern simpler Intervallarithmetik:

Durch die Subtraktion von 3.5 verschiebt sich das gesamte Intervall um 3.5 nach links, also auch die beiden Randpunkte des Intervalls! Aus $\begin{eqnarray*} Y\in [2,5] \end{eqnarray*}$ wird damit $\begin{eqnarray*} Y-3.5\in [2-3.5,5-3.5] \end{eqnarray*}$ , d.h. ausgerechnet $\begin{eqnarray*} Y-3.5\in [-1.5,1.5] \end{eqnarray*}$ , das ganze hier für $\begin{eqnarray*} Y=\frac{1}{n}S_n \end{eqnarray*}$ angewandt.

07.01.2019, 11:40

Fenni

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Oh okey danke Big Laugh

jetzt hab ich das verstanden smile

wie sieht es denn dann hier aus?

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ seien die Wörter eines deutschen Textes, die Zufallsvariable Xi ist die Länge eines „zufällig“ gezogenen Worts.
Sei von irgendwo bekannt, dass E(Xi) = 8, V ar(X) = 12.
Es sei 1/n Hn = 1/n(X1 + ... + Xn) die mittlere Wortlänge von n gezogenen Wörtern.
Wie oft muss man mindestens ziehen, damit 1/nHn nach dem schwachen Gesetz der großen
Zahlen mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen 7 und 9 liegt?

$\begin{eqnarray*} P(\frac{1}{n} H_{n} - 8 \in \left[-1,1\right]) \end{eqnarray*}$ also ist mein alpha dann einfach 1?

07.01.2019, 11:42

HAL 9000

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Genauso ist es. Freude

07.01.2019, 11:44

Fenni

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Danke!

07.01.2019, 11:55

Fenni

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Beim durchschauen meiner Übungsaufgaben hab ich die hier jetzt gefunden:

Wie groß ist (nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen) die Wahrscheinlichkeit,
dass bei 1000 (fairen, unabhängigen) Münzwürfen zwischen 450 und 550 Mal „Kopf“ erscheint?
wie sieht es hier mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aus?
Im Skript habe ich ein Beispiel mit so einer Aufgabe und da steht für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0,1 woher kommt das?

07.01.2019, 12:52

HAL 9000

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Das kommt drauf an, welche Zufallsgröße du betrachtest: Ist es Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an Kopf, dann ist Ungleichung $\begin{eqnarray*} 450\leq X\leq 550 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |X-500|\leq 50 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \alpha=50 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du hingegen mit der relativen Kopfanzahl $\begin{eqnarray*} Y=\frac{X}{1000} \end{eqnarray*}$ rechnest, dann ergibt sich eine Äquivalenz zur Ungleichung $\begin{eqnarray*} |Y-0.5|\leq 0.05 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \alpha=0.05 \end{eqnarray*}$ . D.h., so "losgelöst" wie bei dir macht die Anfrage nach einem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ absolut keinen Sinn.

07.01.2019, 13:16

Fenni

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Okey alles klar, ich habe keine Ahnung welche Zufallsgröße ich hier betrachten soll, bei der Aufgabe steht nichts dabei
ich habe die nach der Vorlage aus dem Skript gemacht:

Beispiel 2.6.5 (Schwaches Gesetz der großen Zahlen beim Münzwurf). Sei B1,...,Bn eine
Bernoullikette, die faire Münzwürfe beschreibt, d.h. wir haben p = 0,5 . Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 40 und 60% der Würfe „Kopf“ zeigen (hier als Erfolg = 1
gewertet). Dann ist $\begin{eqnarray*} P\left\{0,4*n < S_{n} < 0,6*n \right\} = P\left\{ | \frac{1}{n} S_{n} - 0,5 | < 0,1 \right\} = 1 - P \left\{| \frac{1}{n} S_{n} - 0,5 | \geq 0,1 \right\} \geq 1 - \frac{0,5*0,5}{n*0,1^2} = 1 - \frac{25}{n} \end{eqnarray*}$

bei mir kommt als ergebnis 97,5% raus

07.01.2019, 13:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fenni
bei mir kommt als ergebnis 97,5% raus

Wenn n=1000 ist: Ja.

Bitte drauf achten, dass immer alle notwendigen Infos (hier also n) dabei sind.

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