Vektorgeometrieproblem Zwischenwinkel berrechnen

06.03.2007, 17:04

Anonymer Mathefreak

Vektorgeometrieproblem Zwischenwinkel berrechnen

Servus Leute!

DIe Aufgabe Lautet

Gegeben sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{12}{5} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berrechnen sie den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ !

Ich habe den ansatz

$\begin{eqnarray*} cos {\phi} = \frac{\vec{a}*\vec{b}}{a*b} \end{eqnarray*}$

Ich komm einfach nemme Weiter in welcher form muss ich denn die Vektoren oben einsetzen?
Das unten die Vektorlänge steht ist klar!

06.03.2007, 17:30

Primzahl

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Hmm ich versteh nicht so genau, was du meinst, aber im Zähler(oben) musst du doch einfach nur die Vektoren einsetzen und dann das Skalarprodukt bilden.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} =a_1*b_1+a_2*b_2 \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 17:31

riwe

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RE: Vektorgeometrieproblem Zwischenwinkel berrechnen

Zitat:

Original von Anonymer Mathefreak
Servus Leute!

DIe Aufgabe Lautet

Gegeben sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{12}{5} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berrechnen sie den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ !

Ich habe den ansatz

$\begin{eqnarray*} cos {\phi} = \frac{\vec{a}*\vec{b}}{a*b} \end{eqnarray*}$

Ich komm einfach nemme Weiter in welcher form muss ich denn die Vektoren oben einsetzen?
Das unten die Vektorlänge steht ist klar!

das ist zunächst falsch oder zumindest ungenau , richtig ist

$\begin{eqnarray*} cos {\phi} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid \vec{a}\mid \cdot\mid\vec{b}\mid} \end{eqnarray*}$

oben steht das skalarprodukt der beiden vektoren, im nenner das produkt der beiden längen/beträge.

werner

06.03.2007, 18:04

Anonymer Mathefreak

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Wenn ich dann die form hab

Betrag Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \sqrt{1^2+\frac{12}{5}^2} = \frac{13}{5} \end{eqnarray*}$

Betrag Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \end{eqnarray*}$

Skalarprodukt von Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{12}{5} \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ \end{pmatrix} = 1*4 + \frac{12}{5}* 3 = \frac{56}{5} \end{eqnarray*}$

Da dann

$\begin{eqnarray*} cos \phi = \frac{\vec{a} * \vec{b}}{\mid a \mid * \mid b \mid} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Zwischenrechnung
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{56}{5}}{\frac{13}{5}*5} = \frac{5*56}{5*13*5}= \frac{56}{13*5}= \frac{56}{65} \end{eqnarray*}$

Dann wäre der Zwischenwinkel

$\begin{eqnarray*} cos^-1 (\frac{56}{65})= 30.51° \end{eqnarray*}$

Is des dann richtig??

06.03.2007, 18:09

Primzahl

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Jo müsste so stimmen. Freude

06.03.2007, 18:12

Leopold

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@ Anonymer Mathefreak

Unterscheide Vektor und Skalar! So etwas wie

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \sqrt{...} \end{eqnarray*}$

ist eine TODSÜNDE!

06.03.2007, 18:14

Anonymer Mathefreak

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Zitat:

Original von Leopold
@ Anonymer Mathefreak

Unterscheide Vektor und Skalar! So etwas wie

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \sqrt{...} \end{eqnarray*}$

ist eine TODSÜNDE!

Hey du Sorry

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