Koffer am Flughafen

09.01.2019, 13:24

empi

Koffer am Flughafen

Meine Frage:
Hallo Leute,
Ich habe folgende Aufgabe, und ich bin mir fast sicher, dass die nicht allzu schwer sein kann:

Um 8.35 Uhr landet der Airbus A320 in München. An Bord sind n Passagiere; der Pilot heißt Jochen. Alle steigen entspannt aus und schlendern zur Gepäckausgabe, nur einer nicht, der hat es eilig. Er hat es in der Tat so eilig, dass es ihm egal ist, mit welchem Gepäckstück er den Flughafen verlässt (aber ohne möchte er auch nicht). Also wählt er zufällig (wie auch sonst) ein Gepäckstück aus und verschwindet, bevor der nächste Passagier ans Förderband kommt. Aus unerklärlichen Gründen kommen alle weiteren Passagiere nacheinander und erst dann zur Gepäckausgabe, nachdem der vorherige bereits den Sicherheitsbereich verlassen hat. Nun gut, Passagier Nr. 2 hat Zeit und hält nach seinem Gepäckstück Ausschau. Ist es (noch) da, so nimmt er es und ein Taxi, um nach Hause zu fahren. Ist sein Gepäckstück nicht mehr da (wir verdächtigen Nr. 1), will auch er nicht ohne gehen und wählt wieder, wie es sich in der Stochastik gehört, nicht nach Größe, Alter oder Farbe, sondern rein zufällig ein Gepäckstück aus. So geht es Passagier um Passagier, bis der letzte kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser mit seinem eigenen Gepäckstück den Flughafen verlässt?

Ich gehe mal davon aus, dass jeder der n Passagiere auch ein Gepäckstück hat.

Meine Ideen:
Ninja also sollte der erste Passagier zufällig das richtige Gepäckstück wählen, dann ist ja alles gut. Das geschieht leider nur einem von n Fällen also $\begin{eqnarray*} P(X = alle nehmen den richtigen Koffer)= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Nun kommt aber der interessante Teil. Ich stelle mir das jetzt wie einen Kreislauf vor der irgendwann beendet wird und alles ist wieder gut. Also angenommen der erste nimmt den Koffer des Zweiten, der Zweite aber wiederum den des Ersten, dann können ab dem dritten Fluggast alle wieder den richtigen Koffer nehmen. Genauso könnte der Erste den des Zweiten nehmen, der Zweite den des Dritten und der Dritte den des Ersten und erst dann haben alle wieder den richtigen Koffer. Und so sollte es $\begin{eqnarray*} n - 1 \end{eqnarray*}$ verschiedene Möglichkeiten geben, wie das zu geordnet werden kann.

Aber wie genau rechne ich das jetzt schön allgemein aus? Wie ist der ganze Spaß verteilt?

Danke schon mal im Voraus !

09.01.2019, 14:48

Matt Eagle

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RE: Koffer am Flughafen
Eigentlich musst Du Dir nur zwei Dinge überlegen:

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Koffer hintereinanderzustellen?
2. Wenn der letzte Passagier genau seinen Koffer erhalten soll, wie viele Koffer können dann beliebig angeordnet werden?

09.01.2019, 15:04

HAL 9000

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Wenn ich das richtig sehe, ist die Wahrscheinlichkeit unabhängig von der Passagierzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer gleich $\begin{eqnarray*} p(n)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , dass der letzte sein Gepäckstück kriegt.

Ich komme darauf basierend auf Start $\begin{eqnarray*} p(2)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sowie der inhaltlich begründbaren Rekursion $\begin{eqnarray*} p(n) = \frac{1}{n} \left(1 + \sum_{k=2}^{n-1} p(k) \right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Wenn jemand eine eingängigere Begründung auf Lager hat, nur her damit.

09.01.2019, 15:04

empii

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Das sollten 1. n! und 2. (n-1)! sein oder?

09.01.2019, 15:08

empii

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Wie hast du diese Rekursionsformel aufgestellt? Was verbirgt sich da hinter deinem zweiten Faktor?

Gruß empi

09.01.2019, 15:18

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Dieses Rätsel ist erstaunlich populär, seit es auf SPON veröffentlicht wurde.

09.01.2019, 15:28

HAL 9000

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Ah, SPON, sieh mal an. Guck ich eigentlich auch gelegentlich vorbei, aber der Artikel war mir entgangen. Augenzwinkern

09.01.2019, 16:04

empii

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Nachdem ich den Artikel gelesen habe, ist mir nun auch klar, dass es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein müsste. Jedoch ist es hier klar inhaltlich begründbar, aber noch nicht wirklich mathematisch oder? Würdest du, HAL 9000, bei der Induktion bleiben?

09.01.2019, 16:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von empii
Würdest du, HAL 9000, bei der Induktion bleiben?

Sie ist zumindest nicht verkehrt, auch wenn sie langatmiger wirkt. Dafür hat sie nicht mehr den leichten Heuristik-Geruch, denn die SPON-Lösungsdarstellung ausstrahlt.

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