Summenwert

09.01.2019, 15:53	suwe09	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenwert Hallo Sei $\begin{eqnarray} P=\left\{ a^b \| a,b \in N_2\right\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} N_2 \end{eqnarray}$ die Menge der natürlichen Zahlen ab 2 ist Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n \in P} \frac{1}{n-1}=1 \end{eqnarray}$ Benutzen darf man aus vorigen Aufgabenteilen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n \in P} \frac{1}{n-1}=\sum_{n \in P} \sum_{k \in N} \frac{1}{n^k}=\sum_{(m,j) \in N_2xN_2} \frac{1}{m^j} \end{eqnarray}$ gilt. Die letzte Summe (also ganz rechts) ist doch nichts anderes als $\begin{eqnarray} \sum_{n \in P} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ oder ? Das würde aber dann zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ , also einer falschen Aussage führen. Offenbar verstehe ich da etwas nicht richtig... Kann mich da jemand aufklären was hier zu tun ist ?
09.01.2019, 17:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenwert Also wenigstens sehe ich nicht wieso das gelten sollte. Es gilt sogar sicher $\begin{eqnarray} \sum_{(m,j) \in N_2 \times N_2} \frac 1 {m^j} > \sum_{n \in P} \frac 1 n \end{eqnarray}$ . Beachte, dass $\begin{eqnarray} 16 \in P \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} 16 = 4^2 = 2^4 \end{eqnarray}$ gilt. Rechts taucht einmal also der Summand $\begin{eqnarray} 1/16 \end{eqnarray}$ einmal auf, links zweimal!
09.01.2019, 17:39	suwe09	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wird da in der Aufgabenstellung wohl etwas falsch sein. Ist denn der Zusammenhang $\begin{eqnarray} \sum_{n \in P} \frac{1}{n-1}=1 \end{eqnarray}$ richtig oder liegt da auch ein Fehler vor ? Sieht ja - falls der Summenwert wirklich 1 ist - nach einer bekannten Summe aus. Hat das nicht auch irgendwie einen Namen, weil ein bestimmter Mathematiker sich genau damit beschäftigt hat und es daher nach ihm benannt wurde ? Oder ist das Problem eigentlich eher trivial und ich sehe den einfachen Lösungsweg nur gerade nicht ? Ich jedenfalls habe dazu bisher nichts gefunden.
09.01.2019, 18:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \sum_{(m,j) \in N_2xN_2} \frac{1}{m^j} = \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{j=2}^{\infty} \frac{1}{m^j} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m(m-1)} = 1 \end{eqnarray}$ per Geometrischer Reihe bzw. Teleskopreihe.
09.01.2019, 18:55	suwe09	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, so wird es wohl gemeint sein, so macht es Sinn. Danke.

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