Randdichte, Bedingte Dichte bestimmen

09.01.2019, 20:14	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Randdichte, Bedingte Dichte bestimmen Der Zufallsvektor (X,Y) habe die Dichte: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \cdot (1+x^3 y^3), & \| x \| < 1, \| y \| < 1 \\ 0 & sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a.) Bestimmen Sie die Randdichten von X und Y. Sind X und Y stochastisch unabhängig? b.) Bestimmen Sie die bedingte Dichte von Y, wenn X =0,25, 0,75 bzw. 0,50 ist. Meine Idee: a.) $\begin{eqnarray} f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x,y) dy = \int_{0}^{1} \! \frac{1}{4} (1+x^3 y^3) dy = \frac{1}{4} (1+x^3 \cdot \frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x,y) dx = \int_{0}^{1} \! \frac{1}{4} (1+x^3 y^3) dx = \frac{1}{4} (1+y^3 \cdot \frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ stochastisch abhängig: $\begin{eqnarray} f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \cdot (1+x^3 y^3) = \frac{1}{4} (1+x^3 \cdot \frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{4} (1+y^3 \cdot \frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ Gleichung stimmt nicht für x=0, y=0. also ist X und Y stochastisch abhängig. b.) $\begin{eqnarray} f_{Y\|X=0.25}(y) = \frac{f_{(x,y)}(0.25,y)}{f_X(0.25)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (1+0.25^3 y^3)}{\frac{1}{4} \cdot (1+0.25^3 \cdot \frac{1}{4})} \end{eqnarray}$ so ?
10.01.2019, 09:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Integrationsintervalle sind falsch gewählt: $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ bedeutet $\begin{eqnarray} -1<x<1 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} 0<x<1 \end{eqnarray}$ . Analog für $\begin{eqnarray} \|y\|<1 \end{eqnarray}$ . Das hättest du durch eine Probe aufdecken können: Es muss nämlich $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) ~ \dd y = 1 \end{eqnarray}$ herauskommen, was bei deinen Ergebnissen nicht der Fall ist.
15.01.2019, 20:23	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, habs nun.

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