Folge aus Nullstellen

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fonu10 Auf diesen Beitrag antworten »
Folge aus Nullstellen
Hallo

Gegeben ist die Gleichung

Zu zeigen war zunächst, dass die Gleichung für alle natürlichen Zahlen n genau eine Lösung in hat.
Das sollte mit Induktion gehen und habe ich soweit hinbekommen.

Nun soll jedoch noch der Grenzwert der Folge bestimmt werden.
Diese Folge explizit anzugeben, das wird wohl nichts werden.
Daher dachte ich an eine analytische Herangehensweise:

x=0 löst obige Gleichung sowieso nicht und ebenso lässt sich durch den Vorzeichenwechsel erkennen, dass die Lösung in (0,1) liegen muss.

Betrachtet man die Graphen zu und , dann geht es ja im Endeffekt um den Schnittpunkt des Graphen einer Potenzfunktion mit einer fallenden Gerade mit y-Achsenabschnitt 1 im ersten Quadranten, da für x,n>0 folglich auch gilt.
Anschaulich ist daher klar, dass je größer die Steigung n der Geraden wird (betragsmäßig), desto mehr nähert sich den Schnittpunkt dem Ursprung, wodurch offenbar eine fallende Nullfolge ist, also den Grenzwert 0 besitzt. Und auch der Graph zu f(x) strebt in (0,1) gegen Null für

So ganz sauber ist das aber noch nicht oder was meint ihr ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fonu10
Das sollte mit Induktion gehen und habe ich soweit hinbekommen.

Tatsächlich Induktion? Ich hätte eher gesagt "Strenge Monotonie + Zwischenwertsatz" bezogen auf

Zitat:
Original von fonu10
Nun soll jedoch noch der Grenzwert der Folge bestimmt werden.

Wenn man sich die Sache genauer ansieht, stellt man wegen sogar fest. Und damit ist die Sache ja per Sandwich schon gegessen.
fonu10 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Tatsächlich Induktion?


Ich fand das eigentlich recht naheliegend und einfach oder ist das hier nicht zielführend ?

Der Fall n=1 für den Induktionsanfang lässt sich ja einfach nachrechnen.
Für den Schluss auf n+1 kann man in das nx-1 durch die Induktionsannahme ersetzen und hat wiederum eine Gleichung, die nur eine Lösung (x=1) besitzt.

Zitat:
"Strenge Monotonie + Zwischenwertsatz"


Ableitungsregeln waren noch nicht in der Vorlesung, aber es sollte für alle x<y eigentlich auch sofort genügen oder muss man die Ungleichung in diesem eindeutigen Fall noch weiter ausführen/begründen ?

Da f stetig und mit f(0)=-1<0 bzw. f(1)=n>0, muss in (0,1) eine Nullstelle liegen.

Der Zwischenwertsatz liefert also die Existenz und die Monotonie die Eindeutigkeit, richtig ?


Zitat:
Und damit ist die Sache ja per Sandwich schon gegessen.


Ja, das mit dem Einschnüren sollte ich mir gut merken und die noch effektivere Stelle x=1/n mit ist hier natürlich Gold wert. Danke. Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fonu10
Für den Schluss auf n+1 kann man in das nx-1 durch die Induktionsannahme ersetzen und hat wiederum eine Gleichung, die nur eine Lösung (x=1) besitzt.

Verstehe ich nicht: Wie "ersetzt" man nx-1 durch die Induktionannahme? Wer oder was hat hier Lösung ??? verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@fonu: Um HALs Einwand zu präzisieren: Induktion bedeutet hier, dass Du zeigst, dass genau eine Lösung in besitzt, weil auf diesem Intervall genau eine Lösung besitzt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was man tatsächlich per Induktion beweisen könnte ist, dass zusätzlich zur Existenz die Folge streng monoton fallend ist, das folgt im Induktionsschritt aus

,

d.h., man weiß insgesamt immerhin .
 
 
fonu10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich sehe ein, dass das keine gute Idee von mir war - gut dass wir drüber geprochen haben. Big Laugh

Zitat:


Ich hatte das nx-1 durch ersetzt, das ergab dann da für der Term in der Klammer nicht Null werden kann.

Wie gesagt, mir ist aber jetzt klar, dass das zu nichts führt. (x=1 war übrigens ein Tippfehler von mir)

Bleibt nur noch zu klären:

1) Sind meine Ausführungen von 13:06 zu "Strenge Monotonie + Zwischenwertsatz" korrekt und vollständig ?

2) Ist mein Versuch einer analytischen Herangehensweise zur Nullfolgenbegründung aus dem Eingangspost als Beweis (zumindest in Teilen) brauchbar oder eher für die Tonne ?
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fonu10

1) Sind meine Ausführungen von 13:06 zu "Strenge Monotonie + Zwischenwertsatz" korrekt und vollständig ?

2) Ist mein Versuch einer analytischen Herangehensweise zur Nullfolgenbegründung aus dem Eingangspost als Beweis (zumindest in Teilen) brauchbar oder eher für die Tonne ?


Zu 1.
Das Argument zur Existenz der NST mittels ZWS ist so okay.
Die Eindeutigkeit, welche sich aus der Monotonie ergibt ist m.E. aber noch nicht bewiesen.

Ohne Ableitung kannst Du dazu wie folgt vorgehen:
Sei

Es gilt:

Zu 2.
Eher letzteres... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fonu10
Zitat:


Ich hatte das nx-1 durch ersetzt,

Das geht nur für die Nullstelle von , also NICHT für jedes , und damit auch nicht für die Lösung der Gleichung . unglücklich

Zitat:
Original von fonu10
das ergab dann da für der Term in der Klammer nicht Null werden kann.

Zusammenfassend hast du damit folgendes nachgewiesen:

Falls (!) , dann gilt .

Zweifelsohne eine richtige Implikation - der Haken ist nur, dass die Prämisse immer falsch ist, insofern ist diese Aussage ziemlich sinnfrei.
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