Induktionsbeweis: (n^n)/n!

11.01.2019, 14:51	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis: (n^n)/n! Hi, Ich soll mittels Induktion zeigen: $\begin{eqnarray} \frac{n^n}{n!}\geq 2^{n-1} \end{eqnarray}$ IA mit n=1: $\begin{eqnarray} 1 \geq 1 \end{eqnarray}$ . IV... IS: n->n+1 $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n(n+1)}{n!(n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n!} = \frac{\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} n^k}{n!} \end{eqnarray}$ . Nun fehlt mir die Idee. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray}$ habe ich gedacht, aber ich komme nicht dahin, die IV einzusetzen Ideen?
11.01.2019, 15:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es reicht doch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (n+1)^n\geq 2n^n \end{eqnarray}$ gilt. Schau dir mal die letzten beiden Summanden im binomischen Lehrsatz an.
11.01.2019, 21:06	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Man, na klar Danke sehr!!
11.01.2019, 23:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n(n+1)}{n!(n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n!} = \frac{n^n}{n!} \frac{(n+1)^n}{n^n} =\frac{n^n}{n!} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray}$

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