Lineare Abbildung zu gegebenem Kern

12.01.2019, 11:49	Mathemelanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung zu gegebenem Kern Meine Frage: Liebe Freunde der Mathematik, ich habe eine Frage bezüglich einer Übungsaufgabe. Den Aufgabenteil a) bekomme ich hin, bei der b) und c) fehlen mir leider die Ansätze. Vielen Dank mathemelanie Meine Ideen: Ich weiß bereits, dass alle Elemente des R^3, die außerhalb des Unterraumslieben, irgendwie auf R abgebildet werden müssen. Alle Elemente des Unterraums sollen auf den Kern abgebildet werden.
12.01.2019, 11:56	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nicht auf den Kern abbilden; der Kern ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs. Alle Elemente von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sollen auf den Nullvektor abgebildet werden. Eine lineare Abbildung ist durch Angabe der Bilder einer Basis des Urbildraums eindeutig bestimmt. Du könntest also eine Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ bestimmen und diese zu einer Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ergänzen. Diejenigen Basisvektoren, die in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen, bildest du auf 0 ab; die anderen auf irgendwas von 0 verschiedenes.
12.01.2019, 12:50	Mathemelanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz zur Aufgabe b Auf dem Bild könnt ihr meine Ansätze sehen. Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen.
12.01.2019, 14:51	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei deinem Aufschrieb geht einiges durcheinander: Eine Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2\\4 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ , nicht die Menge aller Linearkombinationen davon. Genauso bei der Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Du kannst die Bilder erstmal nur für die drei Basisvektoren festlegen, nicht für die linearen Erzeugnisse: $\begin{eqnarray} f\left(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\right)=f\left(\begin{pmatrix} 0\\2\\4 \end{pmatrix}\right)=0,\quad f\left(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\right)=a \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist, kann man jeden Vektor $\begin{eqnarray} v\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eindeutig darstellen als $\begin{eqnarray} v=r\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 0\\2\\4 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} f(v)=f\left(r\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 0\\2\\4 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\right) = 0\cdot r+0\cdot s +t\cdot a=t\cdot a \end{eqnarray}$ . (Wobei du für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ vielleicht eine andere Variable benutzen solltest; denn das kommt in Aufgabe c) schon vor. Oder du setzt gleich einen konkreten Wert für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein; es ist ja nur nach irgendeiner Abbildung gefragt und nicht nach allen. Hauptsache $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ ). Und noch ein Hinweis: Ich vermute, dass du in der letzten Zeile etwas völlig anderes meintest, als du hingeschrieben hast. Die Mengendifferenz, die da steht, ist der ganze $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , aus dem man eine Ebene (nämlich $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ) herausgenommen hat. Wenn du den Unterraum meinst, der von dem dritten Basisvektor erzeugt wird, musst du einfach $\begin{eqnarray} \left\langle \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray}$ schreiben. Aber wie gesagt, kannst du sowieso nicht allen Vektoren in dem Unterraum das gleiche Bild zuweisen.

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