Lipschitz-Stetigkeit von differenzierbaren Funktionen

12.01.2019, 19:32	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit von differenzierbaren Funktionen Definition. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f\colon D\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} D\subseteq\mathbb R \end{eqnarray}$ heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Lipschitz-Konstante $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \forall(a,b\in D)(\|f(b)-f(a)\|\le L\|b-a\|). \end{eqnarray}$ Definition. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f\colon D\to\mathbb R \end{eqnarray}$ heiße Lipschitz-stetig an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0\in D \end{eqnarray}$ , wenn eine Lipschitz-Konstante $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \forall(a\in D)(\|f(x_0)-f(a)\|\le L\|x_0-a\|). \end{eqnarray}$ Definition. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f\colon D\to\mathbb R \end{eqnarray}$ heißt lokal Lipschitz-stetig in der Nähe einer Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , wenn es eine Epsilon-Umgebung $\begin{eqnarray} U_\varepsilon(x_0) \end{eqnarray}$ gibt, so dass die Einschränkung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Satz. Ist die Funktion $\begin{eqnarray} f\colon D\to\mathbb R \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ differenzierbar, dann gibt es ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ , so dass die Einschränkung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} U_\delta(x_0) \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ Lipschitz-stetig ist. Beweis. Setzt man die Definition des Grenzwertes in die Definition des Differentialquotienten ein, dann ergibt sich $\begin{eqnarray} 0<\|x-x_0\|<\delta\implies \left\|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right\|<\varepsilon. \end{eqnarray}$ Nach der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt $\begin{eqnarray} \left\|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\|-\|f'(x_0)\| \le \left\|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right\| < \varepsilon. \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| < (\|f'(x_0)\|+\varepsilon)\cdot \|x-x_0\| \end{eqnarray}$ und somit erst recht $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| \le (\|f'(x_0)\|+\varepsilon)\cdot \|x-x_0\|, \end{eqnarray}$ wobei jetzt auch $\begin{eqnarray} x=x_0 \end{eqnarray}$ erlaubt ist. Es gilt also $\begin{eqnarray} \exists(\delta>0)\forall(x\in U_\delta(x_0))( \|f(x)-f(x_0)\| \le L\|x-x_0\|). \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L=\|f'(x_0)\|+\varepsilon \end{eqnarray}$ . qed. (Bitte verifizieren. Ich hoffe mir ist kein Fehler unterlaufen.) Mittels Mittelwertsatz zeigt man, dass eine Funktion mit beschränkter Ableitung auch Lipschitz-stetig sein muss. Daraus folgt nach dem Satz vom Minimum und Maximum, dass eine stetige differenzierbare Funktion auf kompaktem Intervall Lipschitz-stetig ist. Daraus folgt sofort, dass eine stetig differenzierbare Funktion lokal Lipschitz-stetig ist. Meine Frage ist nun die folgende: Ist eine Funktion schon dann lokal Lipschitz-stetig, wenn sie differenzierbar ist?
12.01.2019, 20:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-Stetigkeit von differenzierbaren Funktionen Ich würde vermuten, dass sie das nicht ist: Für $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3/2}\cos(\frac 1 x ), x>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ ist f differenzierbar, aber die Ableitung nicht beschränkt.
14.01.2019, 17:30	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gegenbeispiel ist stichhaltig. Nämlich ist eine differenzierbare Funktion sogar genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre Ableitung beschränkt ist. Die Implikation von Lipschitz-stetig zu beschränkter Ableitung ist super einfach: Es gibt eine Lipschitz-Konstante $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right\| \le L \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\ne b \end{eqnarray}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray} \|f'(a)\| = \left\|\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right\| = \lim_{b\to a}\left\|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right\| \le L \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . In Kontraposition kann eine differenzierbare Funktion mit unbeschränkter Ableitung nicht Lipschitz-stetig sein. Wenn nun $\begin{eqnarray} f\colon D\to\mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, und die Einschränkung auf $\begin{eqnarray} U_\varepsilon(x_0) \end{eqnarray}$ für kein noch so kleines $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ eine beschränkte Ableitung besitzt, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in der Nähe von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ auch nicht lokal Lipschitz-stetig. Die Funktion $\begin{eqnarray} f\colon [0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0):=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x):=x^{3/2} \cos(1/x) \end{eqnarray}$ ist zwar Lipschitz-stetig an der problematischen Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ , jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig in der Nähe dieser Stelle. Denn in jeder noch so kleinen Umgebung ist die Ableitung unbeschränkt. Anschaulich gesprochen kann zwar ein beschränkender Doppelkegel fest an den Punkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ gesetzt werden, so dass der Graph nicht in den Doppelkegel eintaucht. Jedoch gibt es keinen beweglichen beschränkenden Doppelkegel mit festem Anstieg $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , denn der Anstieg des Graphen wird für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ immer größer.
14.01.2019, 18:22	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass der Anstieg für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ immer größer wird, ist ungenau. Der betragsmäßige Anstieg wächst zwar, aber nicht monoton. Mir ist nun noch die Frage eingefallen, ob die Funktion notwendigerweise oszillieren muss. Denkbar wäre doch auch so ein Kandidat: [attach]48725[/attach] Der Anstieg soll dabei für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ immer größere Maxima annehmen.
14.01.2019, 20:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht aus, als würde die Funktion um y=x oszillieren. Wenn dir das reicht, könnte man f(x)+kx betrachten.
14.01.2019, 21:40	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gedankengang war folgender: Wenn der betragsmäßige Anstieg unbegrenzt (nicht-monoton) wächst und die Funktion trotzdem einen endlichen Wert annehmen soll, dann müsste sie entweder oszillieren um ihr Wachstum rückgängig zu machen, oder aber die Bereiche mit immer höherem Anstieg werden auch immer kürzer. Mit nicht oszillieren meine ich dabei, dass die Funktion monoton fallend sein soll.
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