Wahrheit oder Wissen - Seite 2

18.01.2019, 03:08

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Ich sehe es nicht, genauso beweist man auch, dass zb der Satz "Alle Aussagen sind falsch" falsch ist und nicht wahr. G ist entweder beweisbar oder nicht beweisbar. Ist G beweisbar, dann Widerspruch, also muss er nicht beweisbar sein, was er auch sagt, so dass er wahr ist. Das klingt für mich lupenrein. Wo liegt in dieser Argumentation der Fehler?

Es gibt eine Formel $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ , sodass für alle Sätze $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} T \vdash \alpha \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} T \vdash \varphi([\alpha]) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} [\alpha] \end{eqnarray*}$ die Gödelnummer von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ).

Durch ein Diagonalisierungsargument lässt sich zeigen, dass für jede Formel $\begin{eqnarray*} \psi(n) \end{eqnarray*}$ ein Satz $\begin{eqnarray*} \rho_\psi \end{eqnarray*}$ existiert, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} T \vdash \rho_\psi \leftrightarrow \psi([\rho_\psi]) \end{eqnarray*}$

Der Gödelsatz ist der Satz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du dir überlegen, warum weder $\begin{eqnarray*} T \vdash \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ , noch $\begin{eqnarray*} T \vdash \neg \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ .

18.01.2019, 10:46

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Ist G beweisbar, dann Widerspruch, also muss er nicht beweisbar sein, was er auch sagt, so dass er wahr ist. Das klingt für mich lupenrein.

Daran ist überhaupt nichts lupenrein. Du vermischst hier und auch schon die ganze Zeit davor (vermeintlich) formales mit informellem Räsonieren, interne mit externen Aussagen, Syntax mit Semantik.

Selbst auf der Ebene von Logik natürlicher Sprache, die dann überhaupt nichts mehr mit Gödel zu tun hat, ist deine Behauptung hier höchst problematisch. (Auf formaler Ebene ist sie schlicht unfug, weil die Begriffe in der math. Logik alle etwas anderes bedeuten als du voraussetzt.) Dadurch, dass du die Ebenen nicht trennst, könnte man argumentieren, wäre dein Schluss ein "Beweis der Beweisbarkeit" der Aussage und somit eine "Widerlegung" derselben. Das ist doch gerade das Problem mit selbstbezüglichen Aussagen (Lügner-Paradoxon etc.) schon allein auf der Ebene natürlicher Sprache. Das zeigt, dass man an diese Dinge systematisch herangehen muss statt naiv.

Um Aspekte wie Gödelsche Unvollständigkeit zu verstehen, muss man eben sein Abstraktionsvermögen systematisch einsetzen und erstmal die Grundbegriffe der mathematischen Logik verstehen, bevor man die Bedeutung der Haupttheoreme verstehen kann.

18.01.2019, 11:47

Elvis

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vidw hat nach dem Verhältnis von Wahrheit und Wissen gefragt. Ich stelle fest, dass Menschen Wissen über mathematische Wahrheiten nur erlangen, indem sie Beweise führen oder nachvollziehen und wenn sie Beweise verstehen. Wer lediglich Sätze oder Aussagen zur Kenntnis nimmt, kann sie im besten Fall verstehen, aber nicht wissen, warum sie wahr sind. Wer das Wissen erlangt hat, versteht die Sätze besser und weiß, dass sie wahr sind.

18.01.2019, 12:41

Dopap

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Das ganze erinnert mich an die spezielle Relativitätstheorie. Man kann da nicht in normaler Sprache argumentieren.
Wenn man die Messung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit zugrunde legt, braucht man "nur" noch die Bedeutung von frame of referenz, deren Synchronisation, Messung von Ereignissen festlegen.
Wer daraus schon mal selbst die ~~Laplace~~-Transformationen bestimmt hat, ist sozusagen über den Berg.
Das Zwillings"paradoxon" löst sich durch Wechsel der Inertialsysteme von selbst auf.
Das nennt man dann Wissen.
Nur mal so am Rande erwähnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Lorentz

18.01.2019, 13:03

Elvis

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Dem kann ich nur beipflichten. Wer die Christoffel-Symbole, den Riemann-Tensor, den Ricci-Tensor und den Ricci-Skalar nicht verstanden hat, der kann nicht über die Einsteinschen-Feldgleichungen reden oder etwas über Gravitationswellen wissen. (Hier ist übrigens eine Vorlesung WS 2018/19 zum Thema: http://electure.studiumdigitale.uni-fran...&videolist=1144 , die Grundlagen kann man sich hier beschaffen : https://www.youtube.com/watch?v=e0eJXttP...qfgTS-H1AY_bNtq)
Wahrheit ist universell und unbegrenzt, Wissen ist individuell und endlich (bei manchen Menschen, die sich für sehr schlau halten, unter 0).

23.01.2019, 20:03

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Es gibt eine Formel $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ , sodass für alle Sätze $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} T \vdash \alpha \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} T \vdash \varphi([\alpha]) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} [\alpha] \end{eqnarray*}$ die Gödelnummer von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ).

Durch ein Diagonalisierungsargument lässt sich zeigen, dass für jede Formel $\begin{eqnarray*} \psi(n) \end{eqnarray*}$ ein Satz $\begin{eqnarray*} \rho_\psi \end{eqnarray*}$ existiert, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} T \vdash \rho_\psi \leftrightarrow \psi([\rho_\psi]) \end{eqnarray*}$

Der Gödelsatz ist der Satz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du dir überlegen, warum weder $\begin{eqnarray*} T \vdash \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ , noch $\begin{eqnarray*} T \vdash \neg \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ .

Der Gödelsatz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ lautet in deiner Symbolik ausgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \rho (\neg(T \vdash \rho\leftrightarrow T \vdash \psi([\rho]) \end{eqnarray*}$ . Setzt man ihn in die Formel $\begin{eqnarray*} T \vdash \alpha\leftrightarrow T \vdash \varphi([\alpha]) \end{eqnarray*}$ ein, dann Widerspruch, weil der Gödelsatz ja gerade ausschließt, dass die Gödelnummer ihn beweist, was hier aber der Falle wäre. Die Negation des Gödelsatzes lautet: $\begin{eqnarray*} \rho (T \vdash \rho\leftrightarrow T \vdash \psi([\rho]) \end{eqnarray*}$ . Da läge der Widerspruch darin, dass mit der Negation des Gödelsatzes auch bewiesen wäre, dass die Gödelnummer des Gödelsatzes den Gödelsatz beweist, was aber im ersten Schritt bereits ausgeschlossen wurde. Richtig? (Wenn Nein, dann wäre ich dir verbunden, wenn du es richtigstellst, ich versuche nämlich daran zu lernen, wie es richtig erklärt wird.)

Mein Punkt ist nun der: Wahrheit wird semantisch definiert als "p" ist wahr (in einem System) gdw. p. Der o.g. Gödelsatz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ ist damit in o.g. Kalkül wahr, weil das, was er sagt, in o.g. Kalkül zutrifft: seine Gödelnummer beweist ihn gerade nicht.

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23.01.2019, 23:40

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Der Gödelsatz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ lautet in deiner Symbolik ausgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \rho (\neg(T \vdash \rho\leftrightarrow T \vdash \psi([\rho]) \end{eqnarray*}$

Nein.

Zur Unabhängigkeit, nimm an, dass $\begin{eqnarray*} T \vdash \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ . Dann hätte man wegen der Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} T \vdash \varphi([\rho_{\neg \varphi}]) \end{eqnarray*}$ .

Aber wegen der Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ wäre auch $\begin{eqnarray*} T \vdash \neg \varphi([\rho_{\neg \varphi}]) \end{eqnarray*}$ . Widerspruch zur angenommenen Konsistenz.

Ähnlich zeigt man, dass auch $\begin{eqnarray*} T \not \vdash \neg \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ gilt.

28.01.2019, 00:29

Pippen

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@42: Kannst du den Gödelsatz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ mal ausschreiben, so wie ich es - wohl erfolglos - versucht habe? Nur dadurch sieht man dann mE, ob der Satz genau das sagt, was der Fall ist, nämlich dass weder er noch sein Gegenteil ableitbar sind - und das würde ihn wahr machen (in dem System)...und genau darum geht's eigentlich: ob der Gödelsatz im System PM wahr ist (was ich glaube).

28.01.2019, 01:00

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
@42: Kannst du den Gödelsatz $\begin{eqnarray*} \rho_{\neg \varphi} \end{eqnarray*}$ mal ausschreiben, so wie ich es - wohl erfolglos - versucht habe?

Ein Beispiel eines ausgewickelten Gödelsatzes für ein einfaches arithmetisches System findet sich hier.

28.01.2019, 08:24

Elvis

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Bei diesem Beispiel ist zu beachten, dass nicht die originale Gödelisierung mit Produkten aus Primzahlpotenzen benutzt wird, sondern eine wesentlich kompaktere Gödelisierung der polnischen Notation der Formeln. Deshalb ist die Gödelnummer des Gödelsatzes vergleichsweise bescheiden.
Übungsaufgabe für kleine Logiker: Substituiere die Gödelnummer für die freie Variable des Gödelsatzes. Beweise den Satz formal im gegebenen formalen System oder beweise die Negation des Satzes formal im gegebenen formalen System. Dann ist das formale System nicht widerspruchsfrei oder der Autor hat etwas falsch gemacht oder der Computer hat eine Ziffer der Gödelnummer falsch berechnet.

28.01.2019, 12:40

Pippen

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Was bleibt ist die Frage, warum der Gödelsatz nicht wahr sein soll. Er sagt von sich selbst, er sei nicht beweisbar und genau das ist der Fall, er wäre demnach in PA wahr.

28.01.2019, 13:15

Elvis

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Fakt 1 : Der Gödelsatz mit der Gödelnummer des Gödelsatzes ist in diesem Kalkül nicht beweisbar.
Fakt 2 : Die Negation des Gödelsatzes mit der Gödelnummer des Gödelsatzes ist in diesem Kalkül nicht beweisbar.
Beide Tatsachen werden durch Gödels Unvollständigkeitssatz bewiesen.

Der Gödelsatz hat mit Wahrheit und Semantik nichts zu tun. Der Gödelsatz ist eine Formel des Kalküls, eine Formel sagt nichts, eine Formel sagt nichts über eine Formel, eine Formel sagt nichts über sich selbst, eine Formel sagt nichts über die Wahrheit von irgendetwas.

Wer behauptet, dass der Gödelsatz mit der Gödelnummer des Gödelsatzes wahr ist, darf das beweisen, kann das aber nicht formal tun (siehe Fakt 1).
Wer behauptet, dass die Negation des Gödelsatzes mit der Gödelnummer des Gödelsatzes wahr ist, darf das beweisen, kann das aber nicht formal tun (siehe Fakt 2).

Solange sich niemand die völlig unnötige Mühe macht, eine der beiden Aussagen zu beweisen, weiß niemand, welche dieser Aussagen wahr ist. Die Mühe ist deswegen unnötig, weil sich niemand für den Inhalt der Aussagen interessiert.

28.01.2019, 15:13

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Der Gödelsatz hat mit Wahrheit und Semantik nichts zu tun. Der Gödelsatz ist eine Formel des Kalküls, eine Formel sagt nichts,

Der Gödelsatz ist nicht nur eine Formel, er ist sehr wohl ein Satz von PM in der Standardinterpretation (die auch Gödel zugrundelegt, sonst könnte er seine Formeln gar nicht als Primzahlen kodieren).

Zitat:

Wer behauptet, dass der Gödelsatz mit der Gödelnummer des Gödelsatzes wahr ist, darf das beweisen, kann das aber nicht formal tun (siehe Fakt 1).

Ich kann das. Dazu brauche ich nur die Definition der Wahrheit, wonach "p" wahr ist gdw. p. Dann schaue ich mir einfach den Gödelsatz G an. G ist in PM unbeweisbar und genau das behauptet G von sich. Damit ist G wahr. Googlen bringt viele Ergebnisse hervor, die das bestätigen (weshalb es mich auch verwirrt, dass hier anderes vertreten wird), zB https://www.phil-fak.uni-duesseldorf.de/...el_HA_Boge.pdf, dort gleich im ersten Abschnitt der Einleitung.

28.01.2019, 15:47

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Ich kann das. Dazu brauche ich nur die Definition der Wahrheit, wonach "p" wahr ist gdw. p. Dann schaue ich mir einfach den Gödelsatz G an. G ist in PM unbeweisbar und genau das behauptet G von sich. Damit ist G wahr. Googlen bringt viele Ergebnisse hervor, die das bestätigen (weshalb es mich auch verwirrt, dass hier anderes vertreten wird), zB https://www.phil-fak.uni-duesseldorf.de/...el_HA_Boge.pdf, dort gleich im ersten Abschnitt der Einleitung.

Auch in dieser Arbeit wird argumentiert, warum der Gödelsatz unabhängig von PA ist (S. 9--S.10).

28.01.2019, 17:21

Elvis

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Zitat:

Original von Pippen
Der Gödelsatz ist nicht nur eine Formel, er ist sehr wohl ein Satz von PM in der Standardinterpretation (die auch Gödel zugrundelegt, sonst könnte er seine Formeln gar nicht als Primzahlen kodieren).

Die Gödelformel eines gödelisierten Kalküls ist eine Formel mit genau einer freien Variablen, in Gödels Sprache eine Satzformel, also kein Satz. Erst durch die Substitution der freien Variablen wird die Gödelformel zu einem der unendlich vielen Sätze. Genau durch die Substitution der freien Variablen durch die Gödelnummer der Gödelformel wird die Gödelformel zum Gödelsatz. Auch als Satz bleibt der Gödelsatz eine Formel, und das ist das einzige, was Gödel in seinem Beweis braucht. Die Gödelisierung hat nicht das Geringste mit einer Interpretation zu tun, es ist eine Arithmetisierung von Formeln eines Kalküls. Mit PM hat Gödel auch nicht viel zu tun, es war nur die historische Vorlage eines geeigneten Kalküls.

Zitat:

Original von Pippen
Dann schaue ich mir einfach den Gödelsatz G an. G ist in PM unbeweisbar und genau das behauptet G von sich. Damit ist G wahr.

Ganz sicher hast du dir nicht den "ausgewickelten Gödelsatz" angeschaut, nach dem du gefragt hast und den zweiundvierzig dir angeboten hat. Du redest immer nur am Thema vorbei.

Zitat:

Original von Pippen
Ich kann das. Dazu brauche ich nur die Definition der Wahrheit, wonach "p" wahr ist gdw. p.

Das ist kein formaler Beweis sondern Gelaber.

Zitat:

Original von Pippen
Googlen bringt viele Ergebnisse hervor, die das bestätigen (weshalb es mich auch verwirrt, dass hier anderes vertreten wird).

Komplizierte Themen kann man nicht googeln, da muss man auch mal selbst denken. Es gibt verschiedene Versionen des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes. Gödel hat eine syntaktische Version bewiesen ( $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ -Unvollständigkeit, die später durch einen kleinen Trick zur Unvollständigkeit ergänzt wurde), semantische Versionen folgen daraus. Viel zu viel, was man zu lesen bekommt, ist eine Verballhornung der semantischen Unvollständigkeit. Das meiste, was man zu lesen bekommt, ist schlichtweg falsch. Gödel hat in seiner Originalarbeit als Motivation für eventuell überforderte Leser eine Randbemerkung gemacht, die immer wieder dazu benutzt wird, den Gödelschen Unvollständigkeitssatz in die Nähe logischer Paradoxa zu bringen - nichts könnte falscher sein.

29.01.2019, 00:57

Pippen

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Gödel selbst schreibt in seiner Arbeit ganz deutlich, nachdem er den Beweis kurz skizziert (http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf, S. 176): Aus der Bemerkung, dass [Gödelsatz] seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet, folgt sofort, dass [Gödelsatz] richtig ist, denn [Gödelsatz] ist unbeweisbar (weil ja unentscheidbar). Der im System PM unentscheidbare Satz wurde also durch metamathematische Überlegungen doch entschieden.

Das ist genau was ich meine: Gödel wendet die Tarski'sche Definition der Wahrheit einfach auf den Satz an und kommt so zu seiner Wahrheit.

29.01.2019, 02:29

zweiundvierzig

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Bei dem Zitat gilt es die genaue Bedeutung der Begriffe zu beachten. So muss die Wahrheit des Gödelsatzes relativ zu einem bestimmten Modell (Standardmodell) gemeint sein. Denn es gibt eben Nichtstandardmodelle, die ihn refutieren (mithin gilt $\begin{eqnarray*} \mathrm{PM}\not \vDash G \end{eqnarray*}$ ).

Darüber hinaus gibt es weitere Ambiguitäten in der Begriffsbildung, sodass Gödels Argument nicht ohne weiteres als selbstevidentes Schema aus seinem ganz speziellen Kontext des Artikels isoliert werden kann. Für eine Analyse siehe Lajevardi, Salehi: On Arithmetical Truth of the Self-Referential Sentences, Theoria 2018.

Edit: Mithin ist der Gödelsatz "wahr" nur in dem Sinne, dass er in bestimmten Modellen der Arithmetik wahr ist, in anderen nicht. Dies folgt, sobald man die Unabhängigkeit erstmal bewiesen hat, aus prinzipiellen Gründen, die "intuitive Bedeutung" des Gödelsatzes spielt dabei keine Rolle. Ein Gödelsatz ist eine gewisse arithmetische Formel (siehe Elvis' voriges Posting), die die Nichtexistenz einer gewissen Zahl behauptet. Im Standardmodell existiert diese Zahl auch nicht, aber es gibt Modelle, in denen eine solche Zahl doch existiert (notwendigerweise als nichtstandard-natürlichen Zahl).

02.02.2019, 00:55

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Bei dem Zitat gilt es die genaue Bedeutung der Begriffe zu beachten. So muss die Wahrheit des Gödelsatzes relativ zu einem bestimmten Modell (Standardmodell) gemeint sein.

Ja.

Zitat:

Ein Gödelsatz ist eine gewisse arithmetische Formel (siehe Elvis' voriges Posting), die die Nichtexistenz einer gewissen Zahl behauptet. Im Standardmodell existiert diese Zahl auch nicht, aber es gibt Modelle, in denen eine solche Zahl doch existiert (notwendigerweise als nichtstandard-natürlichen Zahl).

Dann wäre in diesem Nichtstandardmodell der Gödelsatz falsch und damit das Kalkül PA diesbezüglich inkorrekt. Richtig? In PA selbst bliebe es natürlich dabei, dass weder G noch ~G beweisbar wären. Richtig?

02.02.2019, 02:04

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Dann wäre in diesem Nichtstandardmodell der Gödelsatz falsch und damit das Kalkül PA diesbezüglich inkorrekt. Richtig? In PA selbst bliebe es natürlich dabei, dass weder G noch ~G beweisbar wären. Richtig?

Der Gödelsatz ist in den entsprechenden Modellen falsch und diese Modelle sind nach wie vor auch Modelle von PA. Sie sind natürlich keine Modelle der Theorie PA + G.

An der Korrektheit des Kalküls ändert sich nichts.

Ja, in PA ist weder G noch ~G beweisbar.

02.02.2019, 07:41

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
An der Korrektheit des Kalküls ändert sich nichts.

Achja, der (G)ödelsatz ist ja in PA nicht beweisbar, da spielt es auch keine Rolle, ob er in gewissen Modellen falsch wäre.

02.02.2019, 10:36

Elvis

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Diese Ausdrucksweise ist viel zu kleinlich. Es geht nicht um "den" Gödelsatz, es geht nicht um "PA" , es geht nicht um "gewisse" Modelle. In jedem hinreichend starken Kalkül gibt es unentscheidbare Sätze, diese sind in Theorien der Mathematik wahr oder falsch. Die Unvollständigkeitssätze zeigen uns, dass man Mathematik nicht formalisieren kann, weil Wahrheit nicht mit Beweisbarkeit übereinstimmt.

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