Galoisgruppe eines Polynoms

Neue Frage »

lini412 Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe eines Polynoms
Meine Frage:
Bestimme die Galoisgruppe von x^(15) -1 in Q[X].

Meine Ideen:
Ich habe für dieses Polynom leider keinen wirklichen Ansatz.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

n-te Einheitswurzeln und Galoisgruppen:
Quelle: Umschlagbild von Siegfried Bosch "Algebra" Springer Verlag

Das folgende Bild hat Wolfam Alpha gemacht:
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß also, dass ein Zerfällungskörper von f über Q ist und G=Gal(f)=Gal(L/K). Wie bestimme ich jetzt die Automorphismen? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, sei und . Mit dem Bild von ist der Automorphismus eindeutig festgelegt, denn . Das Bild von muss eine der 8 primitiven 15. Einheitswurzeln sein, die Ordnung der Galoisgruppe ist 8.
Nachtrag : siehe Kreisteilungspolynom.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich weiß, dass die Ordnung der Galoisgruppe die Eulersche Phifunktion ist. Ich weiß auch: ist das n-te Kreisteilungspolynom und x^15 -1 ist irreduzibel und ich habe eine Formel die x^15 -1 faktorisiert.
Wie erhalte ich allerdings einen Zusammenhang zwischen Kreisteilungspolynom und Elemente der Galoisgruppe, das ist mir unklar bzw. ich kenne keine. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist reduzibel, denn das irreduzible Kreisteilungspolynom teilt

Den Zusammenhang zwischen den 8 primitiven 15. Einheitswurzeln und den 8 Elementen der Galoisgruppe habe ich dir schon aufgeschrieben. Setze , und die 8 Körperautomorphismen sind fertig.

Der Trick bei den Kreisteilungskörpern besteht gerade darin, dass diese die Zerfällungskörper der irreduziblen Kreisteilungspolynome sind. Deren Nullstellen sind die primitiven Einheitswurzeln, und genau die werden von den Automorphismen der Galoisgruppe permutiert.

Viel mehr kann man sich eigentlich nicht wünschen, aber es kommt noch unglaublich viel mehr: Jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe ist Teilkörper eines Kreisteilungskörpers. smile
 
 
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.
Es gilt also dann: ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein, denn ist nicht definiert, und Einheitswurzeln sind keine Automorphismen.



Jeder Automorphismus permutiert die 8 primitiven 15. Einheitswurzeln und fixiert die rationalen Zahlen.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt natürlich Hammer .
Danke und eine andere Frage vielleicht noch, ich soll nun alle Zwischenkörper von der Erweiterung bestimmen, wobei Zeta die primitive 12-Einheitswurzel ist.
Der Hauptsatz der Galoistheorie sagt mir ja, dass ich dafür auch den Isomorphismus also die Untergruppen ansehen kann, muss ich jetzt Kreisteilungspolynome kleineren Grades bestimmen oder wie komme ich daran? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Neee ... das hat mit den Polynomen nichts zu tun. LOL Hammer Der Hauptsatz spricht nicht über Polynome sondern über Gruppen. Du musst die primen Restklassengruppen studieren. Hier also eine Gruppe der Ordnung 8.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das mit den Polynomen habe ich schon eingesehen. Ich muss also die Untergruppen von (Z/12Z)* bestimmen oder? Es müssten phi(12)=4 Zwischenkörper (Untergruppen) sein?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

15, nicht 12. Die Eulersche -Funktion gibt nicht die Anzahl der Untergruppen der primen Restklassengruppe sondern die Anzahl der Elemente der Restklassengruppe an. unglücklich unglücklich unglücklich

Hier findest du die Struktur der primen Restklassengruppe: https://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe
und hier die Gruppen der Ordnung 8 mitsamt ihren Untergruppen: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Mach was draus

Nachtrag: Ich hatte übersehen, dass du zwischenzeitlich von 15 auf 12 umgeschwenkt bist. Das ist natürlich viel leichter zu berechnen. Zur Übung solltest du aber auch den Fall 15 voll durchziehen.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss also Untergruppen von {1,5,7,11} suchen? Bzgl. Welcher Verknüpfung denn? Bzgl. + finde ich keine außer die triviale Untergruppe.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: jedes Element ist natürlich invers zu sich selbst also {1} {1,5} {1,7} {1,11} und die ganze Gruppe sind die Untergruppen. Das heißt die Zwischenkörper sind jene Untergruppen bis auf Umnummerierung oder wie ist die Isomorphie jetzt zu verstehen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die prime Restklassengruppe enthält kein Nullelement 0 sondern ein Einselement, daher ist schon klar, dass es sich nur um eine multiplikative Gruppe handeln kann. Wenn du nachgelesen hast, wie die Struktur der primen Restklassengruppe berechnet wird, weißt du, dass die Kleinsche Vierergruppe ist. Die 5 Untergruppen hast du gefunden, es sind die multiplikativen Gruppen .

Die Galoisgruppe enthält die 4 Automorphismen , , , .

Alle Automorphismen fixieren , die Identität fixiert den ganzen Kreisteilungskörper. Die Gruppen der Ordnung 2 enthalten neben der Identität je eine Doppeltransposition der primitiven Einheitswurzeln, das ist für die Permutationsgruppe genau das, was man erwarten darf.

Der Hauptsatz der Galoistheorie sagt, dass der Untergruppenverband der Galoisgruppe antiisomorph zum Teilkörperverband des galoisschen Zahlkörpers ist. Also enthält der Kreisteilungskörper die Teilkörper und 3 quadratische Zahlkörper. Die quadratischen Zahlkörper sind die Fixkörper der Untergruppen vom Index 2, also der Gruppen .

Nachtrag:
ist der Fixkörper zu
ist der Fixkörper zu
Ein erzeugendes Element des dritten quadratischen Teilkörpers habe ich noch nicht gefunden, da bleibt noch etwas für dich zu tun.

Wenn du die Übungsaufgabe für die 15. Einheitswurzeln komplett fertig hast, schreibe hier bitte alles auf, ich werde es gerne nachlesen. Wenn du etwas mehr zur praktischen Berechnung der Kreisteilungskörper mitteilen möchtest, lass dich nicht aufhalten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht dahinter, wie der Fixkörper zu aussehen könnte. Ein erzeugendes Element müsste unter der Inversion fix bleiben, d.h. , daraus folgt aber . Nach der Galoistheorie muss da ein dritter Körper sein ... wo ist er ? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Heureka, ich hab's. Tanzen

hat wegen den Grad 4 über , also ist .
Der Automorphismus spiegelt zwar die primitiven 12. Einheitswurzeln sieht also für unbedarfte Anfänger wie mich auf den ersten und zweiten Blick so aus wie die Inversion, aber es ist . Jetzt ist alles ganz einfach, denn man erkennt als Fixpunkte von .
Mithin ist , und wir haben den dritten und letzten quadratischen Teilkörper gefunden.
Danke, Evariste Galois, ohne dich hätten wir nicht einmal geahnt, wonach wir suchen sollen - mit deiner Hilfe haben wir die vollständige Lösung gefunden. So schön kann Algebra sein. Prost
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »