Art der Unstetigkeitsstelle angeben

13.01.2019, 15:32

Vinicius7

Art der Unstetigkeitsstelle angeben

Moin,

ich habe folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} f(z)= \ln{ \frac{z-1}{z-2}} \end{eqnarray*}$

Allgemein für verschiedene Teilaufgaben, zu denen diese auch gehört, lautet die Aufgabe so:
Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen den Definitionsbereich, die Nullstellen und
Ort und Art der Unstetigkeitsstellen

Der Definitionsbereich ist, wenn ich mich nicht irre: $\begin{eqnarray*} D = \mathbb{R} \setminus \{1,2\} \end{eqnarray*}$
Unten darf keine Null rauskommen, weil das Teilen durch Null nicht definiert ist und oben darf auch keine Null rauskommen, weil der Logarithmus von Null nicht definiert ist.

Wenn es solche Definitionslücken gibt, schaut man ja nach dem Grenzwert. Aber für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ hat man ja schon wieder ein "Problem", weil man den natürlichen Logarithmus von negativen Zahlen nicht nehmen kann. Das gleiche Thema gibt es auch beim linksseitigen Grenzwert von 2.

Nur für den rechtsseitigen Grenzwert gegen 2 habe ich einen Grenzwert und zwar $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir den Graphen am Taschenrechner anschaue, sollte es aber möglich sein, den linksseitigen Grenzwert von 1 auszurechnen.

Könnt ihr mir weiterhelfen?

Und eine weitere Frage: Gibt es auch einen Namen für so eine Stelle?

13.01.2019, 15:38

Helferlein

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Wichtige Zwischenfrage: Handelt es sich um eine Schulaufgabe, oder eine Uni-Aufgabe?

z suggeriert zumindest, dass es um den Logarithmus von komplexen Zahlen geht und das wäre ziemlich konträr zu deiner Aussage, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.

13.01.2019, 15:47

Vinicius7

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Eine Uni-Aufgabe, aber den Bereich der komplexen Zahlen haben wir noch nicht betreten.

Die Aufgaben haben alle verschiedene Variablen Augenzwinkern

13.01.2019, 15:51

Leopold

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Die Eingabe für den natürlichen Logarithmus muß positiv sein. Ein Hinweis: Ein Bruch ist dann und nur dann positiv, wenn entweder Zähler und Nenner zugleich positiv oder Zähler und Nenner zugleich negativ sind.
Du hast es dir also etwas zu einfach gemacht.

13.01.2019, 16:24

Helferlein

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Ich verschiebe es dann mal in den Schulbereich, da die Schwierigkeit und die Fragestellung dort besser aufgehoben ist, auch wenn es um eine Grundlagenaufgabe an der Uni geht.

13.01.2019, 16:36

Vinicius7

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Zitat:

Original von Leopold
Ein Hinweis: Ein Bruch ist dann und nur dann positiv, wenn entweder Zähler und Nenner zugleich positiv oder Zähler und Nenner zugleich negativ sind.

Das ist mir eigentlich bekannt, aber hier lag der Fehler beim Grenzwert gegen $\begin{eqnarray*} 1^- \end{eqnarray*}$

Da geht es dann gegen $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ .

Danke Augenzwinkern

13.01.2019, 16:57

Leopold

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Dein Definitionsbereich ist falsch. Alles andere hängt davon ab. Insofern ist deine gesamte Lösung unbrauchbar.

13.01.2019, 17:07

Vinicius7

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Zitat:

Original von Leopold
Dein Definitionsbereich ist falsch. Alles andere hängt davon ab. Insofern ist deine gesamte Lösung unbrauchbar.

Für mich ist so eine Aussage auch unbrauchbar. Was ist denn daran falsch?

13.01.2019, 17:48

Helferlein

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Dann mal als Anregung: Ist z=1,5 wirklich im Definitionsbereich?

Du solltest schon den Hinweis von Leopold aufgreifen den Zähler und Nenner erst einmal separat auf Positivität bzw.Negativität zu untersuchen.

13.01.2019, 18:16

Vinicius7

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Na gut, damit kann ich schon mehr anfangen. Also es muss entweder oben UND unten etwas Positives stehen oder oben UND unten etwas Negatives. Darum darf man keine Zahlen zwischen 1 und 2 einsetzen. Also gehört das ganze Intervall inkl. der Grenzen nicht zum Definitionsbereich.

$\begin{eqnarray*} D = \mathbb{R} \setminus (1,2)\ \end{eqnarray*}$

13.01.2019, 19:25

Helferlein

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Die übliche Schreibweise dafür wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus [1;2] \end{eqnarray*}$ Die runden Klammern schließen die Ränder aus.

Wie sieht es nun mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 1-} ln\frac{z-1}{z-2} \end{eqnarray*}$ aus?

13.01.2019, 19:33

Vinicius7

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Zitat:

Original von Helferlein
Die übliche Schreibweise dafür wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus [1;2] \end{eqnarray*}$ Die runden Klammern schließen die Ränder aus.

Das war leider so beabsichtigt. Da hatte ich einen Denkfehler.

Zitat:

Original von Helferlein
Wie sieht es nun mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 1-} ln\frac{z-1}{z-2} \end{eqnarray*}$ aus?

Da bin ich immer noch der Meinung, dass der an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ist.

13.01.2019, 19:57

Helferlein

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Stimmt, hatte das Posting oben übersehen.

Bzgl. der Bezeichnung muss ich allerdings passen. Definitionslücken sind immer nur einzelne Stellen und hier hättest Du ja ein ganzes Intervall, für das die Funktion nicht definiert ist.

13.01.2019, 20:28

Vinicius7

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Lücken ist da nicht mehr das richtige Wort, aber da bin ich ja wirklich noch von Lücken und keinem ganzen Bereich ausgegangen Augenzwinkern

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