Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen

15.01.2019, 22:11

MatheFredo

Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen

Die Temperatur einer rechteckigen Platte mit den Rändern x= $\begin{eqnarray*} \mp 1 \end{eqnarray*}$ , y= $\begin{eqnarray*} \mp 2 \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch T(x,y)= $\begin{eqnarray*} x^2-4y^2+y-5 \end{eqnarray*}$ . Finden Sie die heißesten und kältesten Punkte. Gibt es Sattelpunkte in der Temperaturverteilung?

Mein Ansatz:

die Funktion T nach x differenziert, ergäbe: 2x=0 (notw. Kriterium)
und somit x=0

T nach y differenziert, ergäbe -8y+1=0 (notw. Kriterium)

y=1/8

dy/dx= -8y+1/(2x) => man hat hier eine implizite Funktion (?)

$\begin{eqnarray*} (d^2 T)/(dx^2) \end{eqnarray*}$ = 2 > 0 -> lok. Minimum
$\begin{eqnarray*} (d^2 T)/(dy^2) \end{eqnarray*}$ =-8 < 0 -> lok. Maximum

$\begin{eqnarray*} (d^2T_xy) \end{eqnarray*}$ = 2y
$\begin{eqnarray*} (d^2T_yx) \end{eqnarray*}$ = -8y+1

Ist der Ansatz so ungefähr richtig? Ich habe jetzt nicht die gegebenen Werte x= $\begin{eqnarray*} \mp 1 \end{eqnarray*}$ , y= $\begin{eqnarray*} \mp 2 \end{eqnarray*}$ vewertet.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.

MatheFredo

15.01.2019, 22:19

MatheFredo

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Edit: der Ansatz mit der Hesse-Matrix folgt gleich noch

15.01.2019, 22:32

MatheFredo

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$\begin{eqnarray*} T_xy=0 = T_yx \end{eqnarray*}$

D= $\begin{eqnarray*} T_xx* T_yy - T_xy*T_yx \end{eqnarray*}$

D= 2*(-8)-0*0= - 16

=> man hat einen Sattelpunkt, weil die Determinante negativ ist, stimmt das denn?

16.01.2019, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheFredo
$\begin{eqnarray*} (d^2 T)/(dx^2) \end{eqnarray*}$ = 2 > 0 -> lok. Minimum
$\begin{eqnarray*} (d^2 T)/(dy^2) \end{eqnarray*}$ =-8 < 0 -> lok. Maximum

$\begin{eqnarray*} (d^2T_xy) \end{eqnarray*}$ = 2y
$\begin{eqnarray*} (d^2T_yx) \end{eqnarray*}$ = -8y+1

Hier weiß ich nicht, was du damit sagen willst.

Zitat:

Original von MatheFredo
$\begin{eqnarray*} T_xy=0 = T_yx \end{eqnarray*}$

D= $\begin{eqnarray*} T_xx* T_yy - T_xy*T_yx \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich meinst du:

$\begin{eqnarray*} T_{xy} = 0 = T_{yx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = T_{xx} * T_{yy} - T_{xy} * T_{yx} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist ok. Jetzt mußt du noch die Ränder der Platte auf Extrema prüfen.

16.01.2019, 08:43

MatheFredo

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An den Indizes in Latex-Schreibweise kann ich noch arbeiten.

Bei x=-1 würde ich dann bspw. auf die Ränder hin überprüfen.

$\begin{eqnarray*} T_{-1,y} = x^2 -4y^2+y-5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(y) = -4y^2+y-4 \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt nach x und y differenzieren

$\begin{eqnarray*} T_{y} = -8y+1 \end{eqnarray*}$ = 0 <=> y= 1/8
$\begin{eqnarray*} T_{x} = 2x \end{eqnarray*}$ und für x setze ich hier -1 ein? <=> x= -2

$\begin{eqnarray*} T_{xx} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_{yy} = -8 \end{eqnarray*}$

16.01.2019, 08:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheFredo
$\begin{eqnarray*} T_{-1,y} = x^2 -4y^2+y-5 \end{eqnarray*}$

Wenn du x=-1 nimmst, dann mußt du das auf der rechten Seite auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} T_{-1,y} = (-1)^2 -4y^2+y-5 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MatheFredo
muss ich jetzt nach x und y differenzieren

Du hast jetzt eine Funktion, die nur noch von y abhängt. Also mußt du auch nur nach y differenzieren.

16.01.2019, 08:58

MatheFredo

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$\begin{eqnarray*} T_{y} = -8y+1 \end{eqnarray*}$ = 0 <=> y=1/8

aber um an die Extrema zu kommen, überprüfe man die 2. Ableitung

$\begin{eqnarray*} T_{yy} = -8 \end{eqnarray*}$ < 0 => lokales Maximum

Die Determinante der Hesse-Matrix kann ich aber nicht bestimmen, weil mir dann $\begin{eqnarray*} f_{xx}, f_{xy} , f_{yx} \end{eqnarray*}$ fehlen? oder muss ich die Determinante nicht berechnen, weil man eine Fkt. jetzt nur noch in Abhängigkeit einer Variablen (y) nun hat und es hätte sich mit dem Überprüfen, ob die 2. Ableitung < oder > als 0 ist, erledigt?

d.h. man hat ein Maximum bei (-1/ 1/8) und das in T(x,y) eingesetzt, ergäbe dann die Temperatur, die bei -63/16 liegt, was dann ein kalter Punkt wäre (?)

16.01.2019, 10:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheFredo
oder muss ich die Determinante nicht berechnen, weil man eine Fkt. jetzt nur noch in Abhängigkeit einer Variablen (y) nun hat und es hätte sich mit dem Überprüfen, ob die 2. Ableitung < oder > als 0 ist, erledigt?

So ist es.

Zitat:

Original von MatheFredo
d.h. man hat ein Maximum bei (-1/ 1/8) und das in T(x,y) eingesetzt, ergäbe dann die Temperatur, die bei -63/16 liegt, was dann ein kalter Punkt wäre (?)

Ich weiß jetzt nicht, was du mit "kalter Punkt" sagen willst. Ansonsten ja.

16.01.2019, 11:21

MatheFredo1

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Ok, und wenn man den Sattelpunkt als Punkt angeben müsste, läge er bei der gegebenen Funktion bei S(0/ 1/8)?
Das mit dem kältesten Punkt ist falsch. Es handelt sich um einen heißen Punkt (s. Aufgabenstellung). Ich habe die anderen Randwerte hinsichtlich der Extrema berechnet und verglichen.

16.01.2019, 17:47

MatheFredo

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wäre das denn so richtig?

17.01.2019, 08:20

klarsoweit

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Ja.

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