Grenzwert mit zwei Veränderlichen |
16.01.2019, 02:52 | komgrenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grenzwert mit zwei Veränderlichen Zu bestimmen ist der Grenzwert für bzgl. mit und Mein Ansatz: z=x+iy mit x,y reell Wie könnte man nun weiter fortfahren ? |
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16.01.2019, 08:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Grenzwert mit zwei Veränderlichen Mit Hilfe von kannst du das geeignet abschätzen. |
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16.01.2019, 11:25 | komgrenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Möchtest du darauf hinaus, dass gilt und damit der erste und letzte Term für gegen Null streben und damit auch insgesamt der gesuchte Grenzwert gemäß Sandwich-Lemma Null sein muss ? |
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16.01.2019, 12:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja, aber die Konvergenz gegen Null hängt auch von dem Vorzeichen von 1-s ab. |
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16.01.2019, 23:34 | komgrenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, also gilt das mit der Konvergenz gegen Null eigentlich nur für s<1, oder ? Für s=1 würde der Exponent Null und damit der Term in der Mitte bzw. rechts sogar 1 werden. Falls s>1, würde der Term wegen gegen unendlich streben. Was wäre denn dann der Grenzwert für (x,y) ---> (0,0) in diesen beiden Fällen ? |
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17.01.2019, 00:13 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Funktion für konvergent sein soll, muss für alle gegen konvergenten Folgen bzw. stetige Parameterkurven mit für die Verkettung gegen den selben Grenzwert konvergieren. In Kontraposition existiert der Grenzwert schon dann nicht, wenn dies für zwei Parameterkurven nicht der Fall ist. Speziell kann bei die Konvergenz ausgeschlossen werden. Das entspricht den Parameterkurven und , die auf den Koordinatenachsen entlang zur Stelle laufen. |
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17.01.2019, 11:00 | komgrenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das soll also im Endeffekt bedeuten, dass für die Funktion für (x,y) ---> (0,0) divergiert ? Es gilt ja schon mal und dann eben noch Falls s=1 folgt Falls s<1 folgt zumindest für die Fälle, für die im Reellen definiert sind. Falls s>1 folgt Ist das so in Ordnung ? |
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17.01.2019, 11:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Großen und Ganzen ja, allerdings taugt dieses:
weder zum Beweis von Konvergenz, noch zum Beweis von Divergenz. |
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17.01.2019, 11:44 | komgrenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hat dann wohl damit zu tun, oder ? Für den fehlenden Konvergenzbeweis für s<1 nehme ich dann einfach das von dir empfohlene Sandwich von oben ? |
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17.01.2019, 12:15 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn mit für gegen null strebt, sollte die Argumentation schlüssig sein. Tipp: die Funktion ist rotationssymmetrisch. Hier kann gefahrlos in Polarkoordinaten argumentiert werden. Alternativ mittels Stetigkeitssätzen für die Stetigkeit des zusammengesetzten Ausdrucks auf die der Teilausdrücke zurückführen. Bzw. mittels Grenzwertsätzen für die Konvergenz des zusammengesetzen Ausdrucks auf die der Teilausdrücke zurückführen. |
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17.01.2019, 12:32 | komgrenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit meinst du, dass man bei den Zähler- und Nennerterm separat betrachtet oder die Bestandteile der Verkettungen ? Gerade das ging (zumindest bei mir) schief, weshalb ich die Abschätzung von klarsoweit benutzt hatte. Wie würdest du das denn alternativ via Betrachtung der Teilausdrücke machen ?
Damit kenne ich mich nicht aus, das hatten wir noch nicht in der Vorlesung. |
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17.01.2019, 13:05 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ganz simpel. Da eine Polynomfunktion in zwei Variablen ist, ist es auch stetig. Die Funktion ist stetig. Dann ist die Verkettung auch stetig, denn die Verkettung von stetigen Funktionen ist stetig. Für ist stetig. Dann ist auch stetig. Dann ist auch das Produkt stetig, denn das Produkt von stetigen Funktionen ist stetig. Für ergibt sich dann die Stetigkeit von für . Damit ist leider noch nicht abgedeckt. |
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17.01.2019, 13:11 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da rotationssymmetrisch ist, genügt die Betrachtung von , wobei substituiert wurde. |
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