Grenzwert mit zwei Veränderlichen

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komgrenz Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit zwei Veränderlichen
Hallo

Zu bestimmen ist der Grenzwert für bzgl. mit und

Mein Ansatz:

z=x+iy mit x,y reell





Wie könnte man nun weiter fortfahren ? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit zwei Veränderlichen
Mit Hilfe von kannst du das geeignet abschätzen. smile
komgrenz Auf diesen Beitrag antworten »

Möchtest du darauf hinaus, dass gilt und damit der erste und letzte Term für gegen Null streben und damit auch insgesamt der gesuchte Grenzwert gemäß Sandwich-Lemma Null sein muss ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, aber die Konvergenz gegen Null hängt auch von dem Vorzeichen von 1-s ab.
komgrenz Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, also gilt das mit der Konvergenz gegen Null eigentlich nur für s<1, oder ?

Für s=1 würde der Exponent Null und damit der Term in der Mitte bzw. rechts sogar 1 werden.

Falls s>1, würde der Term wegen gegen unendlich streben.

Was wäre denn dann der Grenzwert für (x,y) ---> (0,0) in diesen beiden Fällen ? verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Funktion für konvergent sein soll, muss für alle gegen konvergenten Folgen bzw. stetige Parameterkurven mit für die Verkettung gegen den selben Grenzwert konvergieren.

In Kontraposition existiert der Grenzwert schon dann nicht, wenn dies für zwei Parameterkurven nicht der Fall ist. Speziell kann bei

die Konvergenz ausgeschlossen werden. Das entspricht den Parameterkurven und , die auf den Koordinatenachsen entlang zur Stelle laufen.
 
 
komgrenz Auf diesen Beitrag antworten »

Das soll also im Endeffekt bedeuten, dass für die Funktion für (x,y) ---> (0,0) divergiert ?

Es gilt ja schon mal und dann eben noch

Falls s=1 folgt

Falls s<1 folgt zumindest für die Fälle, für die im Reellen definiert sind.

Falls s>1 folgt


Ist das so in Ordnung ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Großen und Ganzen ja, allerdings taugt dieses:
Zitat:
Original von komgrenz
Falls s<1 folgt zumindest für die Fälle, für die im Reellen definiert sind.

weder zum Beweis von Konvergenz, noch zum Beweis von Divergenz.
komgrenz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In Kontraposition existiert der Grenzwert schon dann nicht....


Das hat dann wohl damit zu tun, oder ?

Für den fehlenden Konvergenzbeweis für s<1 nehme ich dann einfach das von dir empfohlene Sandwich von oben ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn

mit für gegen null strebt, sollte die Argumentation schlüssig sein. Tipp: die Funktion ist rotationssymmetrisch. Hier kann gefahrlos in Polarkoordinaten argumentiert werden.

Alternativ mittels Stetigkeitssätzen für die Stetigkeit des zusammengesetzten Ausdrucks auf die der Teilausdrücke zurückführen.

Bzw. mittels Grenzwertsätzen für die Konvergenz des zusammengesetzen Ausdrucks auf die der Teilausdrücke zurückführen.
komgrenz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bzw. mittels Grenzwertsätzen für s<1 die Konvergenz des zusammengesetzen Ausdrucks auf die der Teilausdrücke zurückführen.


Damit meinst du, dass man bei den Zähler- und Nennerterm separat betrachtet oder die Bestandteile der Verkettungen ?

Gerade das ging (zumindest bei mir) schief, weshalb ich die Abschätzung von klarsoweit benutzt hatte.

Wie würdest du das denn alternativ via Betrachtung der Teilausdrücke machen ?


Zitat:
Tipp: die Funktion ist rotationssymmetrisch. Hier kann gefahrlos in Polarkoordinaten argumentiert werden.


Damit kenne ich mich nicht aus, das hatten wir noch nicht in der Vorlesung.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ganz simpel. Da eine Polynomfunktion in zwei Variablen ist, ist es auch stetig. Die Funktion ist stetig. Dann ist die Verkettung auch stetig, denn die Verkettung von stetigen Funktionen ist stetig. Für ist stetig. Dann ist auch stetig. Dann ist auch das Produkt stetig, denn das Produkt von stetigen Funktionen ist stetig. Für ergibt sich dann die Stetigkeit von

für .

Damit ist leider noch nicht abgedeckt.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da rotationssymmetrisch ist, genügt die Betrachtung von , wobei substituiert wurde.
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