Stone - Weierstraß II

16.01.2019, 18:33	Burunduk	Auf diesen Beitrag antworten »
Stone - Weierstraß II Meine Frage: Hallo, ich lese gerade ein Artikel mit dem Titel ''A Stone-Weierstrass Theorem Without Closure Under Suprema'', der unter der folgenden Seite zu finden ist: https://authors.library.caltech.edu/81084/ und versuche den Beweis des Theorems 4 auf den Seiten 5-7 zu verstehen. Die Hinrichtung kann ich nachvollziehen, allerdings die Rückrichtung nicht. 1. Ich versteh nicht, dass man aus A ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray} \int gd\mu=0 \end{eqnarray}$ folgert. 2. Es ist mir nicht ganz klar wieso bei $\begin{eqnarray} \mu^{+}=\delta_{y}, \ \mu^{+}=\delta_{y} \end{eqnarray}$ (2) und $\begin{eqnarray} \mu\neq0 \end{eqnarray}$ der (6) widersprechen. 3. Wird $\begin{eqnarray} \Psi\cap N_{\delta}(y)=\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu^{-}(\Psi)>0 \end{eqnarray}$ einfach nur angenommen oder ist das eine Folgerung von etwas? 4. Wie kann bei (7) $\begin{eqnarray} K\int_{\Psi}d\mu^{-}>1 \end{eqnarray}$ sein? 5. Ganz zum Schluß: wieso folgt aus (a)-(c) $\begin{eqnarray} f_{n}\in U(y,\varepsilon_{0},\delta)\subseteq U(y,\varepsilon_{0},\delta_{0}) \end{eqnarray}$ . Ich wäre euch sehr dankbar, wenn sich jemand von euch das mal anschaut und mir meine Fragen beantworten kann, auch wenn nicht alle. Meine Ideen: für 2. (6) gilt doch z.B. wenn sowohl $\begin{eqnarray} \mu^{+}=\delta_{y} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \mu^{+}=\delta_{y} \end{eqnarray}$ gilt, denn dann komm ich doch auf $\begin{eqnarray} \int gd\mu=\int gd\mu^{+}-\int gd\mu^{-}=\int gd\delta_{y}-\int gd\delta_{y}=0=\int fd\delta_{y}-\int fd\delta_{y}=\int fd\mu^{+}-\int fd\mu^{-}=\int fd\mu \end{eqnarray}$ . Das kann irgenwei nicht sein. 4. $\begin{eqnarray} K>1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{\Psi}d\mu^{-}=\mu^{-}(\Psi)>0 \end{eqnarray}$ , d.h. wenn z.B. $\begin{eqnarray} \mu^{-}(\Psi)<1 \end{eqnarray}$ , dann kann $\begin{eqnarray} K\int_{\Psi}d\mu^{-}>1 \end{eqnarray}$ doch nicht gelten? 5. dass die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \rho(x,y)>\delta\Rightarrow f(x)\geqslant1 \end{eqnarray}$ erfüllt ist, das kann ich nachvollziehen, aber wie man auf $\begin{eqnarray} f(y)\leq\varepsilon \end{eqnarray}$ kommt, versteh ich leider nicht.
27.01.2019, 14:33	Burunduk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leute, die Fragen, die ich hier gestellt habe, sind für mich immer noch aktuell. Falls ihr also irgendwann Lust und Zeit habt, wäre ich für euere Antworten dankbar. Ich hab noch eine weitere Frage zu den zwei Beispielen, die bereits im Thread: Stone-Weierstraß behandelt wurden. Es geht darum, dass quadratische Funktionen Punkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen trennen und lineare Funktionen nur punktetrennend sind. Kann man aus diesen Beispielen etwas allgemein gültiges/wesentliches folgern? Die wurden doch bestimmt nicht einfach zufällig im Artikel gewählt, oder? lg
07.02.2019, 14:59	Burunduk	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn wirklich keiner helfen?
08.02.2019, 20:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stone - Weierstraß II Nur ein paar Fragen, weil ich keine Zeit habe alles durchzulesen. 1) mit $\begin{eqnarray} g\in A \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \lambda g \in A \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . falls $\begin{eqnarray} \int g > 0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray} \lambda >0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda \int g = \int (\lambda g) > c \end{eqnarray}$ . Widerspruch. Falls $\begin{eqnarray} \int g<0 \end{eqnarray}$ , so wählt man $\begin{eqnarray} \lambda <0 \end{eqnarray}$ betragsmässig gross. Gleicher Widerspruch. 3) Offenbar folgt die Existenz von $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ aus Theorem 1 in P. Billingsley, Convergence of Probability Measures. Da müsstest du nachschlagen. 4) So ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ genau gewählt. 5) Aus a-c) folgt nach Definition sofort $\begin{eqnarray} f_n \in U(y, \epsilon_0, \delta) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \delta < \delta_0 \end{eqnarray}$ folgt allgemein, dass $\begin{eqnarray} U(y, \epsilon_0, \delta) \subset U(y, \epsilon_0, \delta_0) \end{eqnarray}$ . Das ist sogar in (2) noch einmal ausgeführt. Zu deiner Idee: Eigenschaft c) sagt doch $\begin{eqnarray} f_n(y) = 0 \end{eqnarray}$ . Insbesondere $\begin{eqnarray} f_n(y) < \epsilon_0 \end{eqnarray}$ .
09.02.2019, 16:30	Burunduk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, vilen Danke für deine Antworten!
09.02.2019, 16:59	Burunduk	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich steh grad auf dem Schlauch. Ich versteh die 1 irgendwie trotzdem nicht so ganz.
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09.02.2019, 17:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} z \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann kannst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} z \neq 0 \implies \sup_{\lambda \in \mathbb R} \lambda z = +\infty \end{eqnarray}$ ist. Insbesondere wenn ein $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \lambda z \leq c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , so impliziert dies $\begin{eqnarray} z = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \geq 0 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} z := \int g d \mu \end{eqnarray}$ folgt dann die Aussage. Besser?
09.02.2019, 22:42	Burunduk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist besser. Danke dir!

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