Nach v umstellen

16.01.2019, 19:16

Sabine090791

Nach v umstellen

Meine Frage:
Wie stelle ich diese Formel auf v um?

Barwert Formel
B = a* ((v^n-1)/(v-1))

Angenommen ^ n=3

Vielen Dank

Meine Ideen:
Schon stundenlang probiert

16.01.2019, 19:50

HAL 9000

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Im Fall $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ heißt das gekürzt

$\begin{eqnarray*} B = a(v^2+v+1) \end{eqnarray*}$ ,

was eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist.

Für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ gibt es auch noch Auflösungsformeln, allerdings schon ziemlich aufwändige, komplizierte. Für $\begin{eqnarray*} n\geq 6 \end{eqnarray*}$ ist da nichts mehr drin, (spätestens) dann müssen numerische Näherungsverfahren ran.

16.01.2019, 20:14

Sabine0907911

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Vielen Dank dafür
Aber wo verschwindet dann das : (v-1) hin
Kann man das ausführlicher erklären?

16.01.2019, 20:38

HAL 9000

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Wenn du es nicht kennst, dann multipliziere $\begin{eqnarray*} (v-1)(v^2+v+1) \end{eqnarray*}$ doch mal aus...

16.01.2019, 21:05

Finn_

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Für $\begin{eqnarray*} |v|<1 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{v^n-1}{v-1} = \frac{-1}{v-1} = \frac{1}{1-v}. \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} |v|<1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden kann, hat man für ein großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} \frac{B}{a} \approx \frac{1}{1-v} \end{eqnarray*}$
und daher
$\begin{eqnarray*} v\approx 1-\frac{a}{B}. \end{eqnarray*}$

Ich habe hier nachgelesen, dass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der Zinsfaktor sein soll, der ist bei Wachstum leider geringfügig größer als eins. Die Formel ist dort für den nachschüssigen Endwert angegeben.

16.01.2019, 23:20

Finn_

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Die Gleichung lässt sich in die Fixpunktgleichung
$\begin{eqnarray*} v = \left(\frac{B}{a}(v-1)+1\right)^{1/n} \end{eqnarray*}$
umformen. Für den Startwert $\begin{eqnarray*} v_0=2 \end{eqnarray*}$ müsste die Fixpunktiteration unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} v>1 \end{eqnarray*}$ gegen die Lösung der Gleichung konvergieren.

Zur Berechnung kann das folgende Python-Programm benutzt werden:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:

def bestimme_v(B,a,n):
    y = float(B)/a

    def check(v):
        return abs(y-(v**n-1.0)/(v-1.0)) < 1E-8

    v = 2.0
    for k in range(100):
        v = (y*(v-1.0)+1.0)**(1.0/n)

    return {'v': v, 'check': check(v)}

print(bestimme_v(B=4,a=1,n=3))

17.01.2019, 07:24

Sabine090791

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lim
oh, irgendwie kommt mir das mit dem LIM bekannt vor, ich werde das mal versuchen zu rechnen.

das Problem daran ist, dass auch auf Nachfrage unser Lektor nur sagt "schaut im Skript nach" - dumm nur, dass sein Skript absolut nicht aussagekräftig ist.

Danke für die Hilfe.

17.01.2019, 07:33

Sabine090791

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Ich stelle hier mal die Aufgabe rein, damit es vielleicht etwas klarer wird:

"Ein Elektromark bietet ein TV gerät zum Barpreis von 2160 € an. Alternativ kann man das Gerät auch mit 3 Jahresraten (VS) á 800 € kaufen. Welchen Zinssatz entspricht der Ratenkauf. Lösung 11,55 %

Danke & LG

17.01.2019, 08:50

HAL 9000

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Vielleicht hast du dich ja durch Finn und seine (hier etwas seltsam anmutenden) Betrachtungen $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ablenken lassen, aber

Zitat:

Original von HAL 9000
Im Fall $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ heißt das gekürzt

$\begin{eqnarray*} B = a(v^2+v+1) \end{eqnarray*}$ ,

was eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist.

gilt nach wie vor. Und wie man quadratische Gleichungen löst, hast du doch (hoffentlich) kennengelernt.

17.01.2019, 09:01

Sabine090791

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nachdem ich jetzt alles noch mal genau angsehen habe, bin ich drauf gekommen, dass die Kollegin die nachschüssige, statt der vorschüssigen Formel angewandt hat - was natürlich dazu führt, dass ich keine quadratische Formel anwenden kann - die vorschüssige jedoch hat zum Ziel, dass es geht.

danke an alle smile

17.01.2019, 09:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabine090791
nachdem ich jetzt alles noch mal genau angsehen habe, bin ich drauf gekommen, dass die Kollegin die nachschüssige, statt der vorschüssigen Formel angewandt hat - was natürlich dazu führt, dass ich keine quadratische Formel anwenden kann.

Unsinn: Das läuft doch ebenfalls auf eine quadratische Gleichung hinaus, nur da eben

$\begin{eqnarray*} Bv^2 = a(v^2+v+1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B=2160 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=800 \end{eqnarray*}$ ,

mit Lösung $\begin{eqnarray*} v= \frac{5+\sqrt{195}}{17}\approx 111.55\% \end{eqnarray*}$ .

17.01.2019, 09:24

Sabine090791

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Anbei ein Bild der Formel;

17.01.2019, 09:34

HAL 9000

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Und? Was willst du mir damit sagen?

17.01.2019, 09:43

Sabine090791

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dass ich dann wieder wenn ich

a * v * (v^2 + v + 1) wieder hab

a* (v^3 + v^2 + v )

Aber ich hab die Lösung und möchte niemanden mehr nerven. Sorry.

17.01.2019, 10:24

Finn_

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Der Preis pro Jahr müsste $\begin{eqnarray*} 2160/3 = 720 \end{eqnarray*}$ sein. Jedoch wird dieser nun mit einem Zinsfaktor von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ verzinst, so dass man am Ende nicht $\begin{eqnarray*} 2160 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 3\cdot 800 = 2400 \end{eqnarray*}$ bezahlen muss. Für mich ergibt sich dann
$\begin{eqnarray*} 720+720v+720v^2 = 2400 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} v \approx 110{,}73\% \end{eqnarray*}$ .

Wenn man vorschüssig bezahlt, dann können die ersten 720€ nicht schon verzinst sein.

Warum muss denn $\begin{eqnarray*} v=111{,}55\% \end{eqnarray*}$ rauskommen?

17.01.2019, 10:39

HAL 9000

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Die 11,55% passen zu den Angaben

Zitat:

Original von Sabine090791
"Ein Elektromark bietet ein TV gerät zum Barpreis von 2160 € an. Alternativ kann man das Gerät auch mit 3 Jahresraten (VS) á 800 € kaufen.

sofern die erste Rate sofort nach Kaufabschluss fällig ist, die letzte Rate also nach 2 Jahren - siehe meine Rechnung oben. Das nennt man dann aber glaube ich doch "vorschüssig" im WiWi-Sprech.

17.01.2019, 11:18

Sabine090791

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das ist zwar eine saudämliche Antwort aber "weil es in der Lösung angegeben ist" ...

17.01.2019, 11:24

HAL 9000

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Nach dem ziemlich desaströsen Threadverlauf ohne echte Rückkopplung habe ich eigentlich nur noch eine Frage an Sabine090791: Wie hast du denn angesichts von

Zitat:

Original von Sabine090791
was natürlich dazu führt, dass ich keine quadratische Formel anwenden kann.

das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ausgerechnet? Per Näherungsverfahren? verwirrt

17.01.2019, 11:31

Finn_

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Ach so, der Gedankengang ist der folgende.

Ich begebe mich in die Sicht des Verkäufers. Dieser muss einen Kredit vom Barwert B=2160€ aufnehmen und nach zwei Jahren die Zinsen $\begin{eqnarray*} Bv^2 \end{eqnarray*}$ mit Zinsfaktor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bezahlen. Er bekommt drei Ratenzahlungen, jeweils a=800€ pro Jahr, die ersten 800€ sofort (vorschüssig). Für die ersten 800€ ergeben sich nach zwei Jahren $\begin{eqnarray*} av^2 \end{eqnarray*}$ Zinsen, die zweiten 800€ ergeben nach dem übrigen Jahr $\begin{eqnarray*} av \end{eqnarray*}$ an Zinsen und für die letzte Zahlung gibt es keine Zinsen. Demnach ergibt sich die Bilanz
$\begin{eqnarray*} Bv^2 = av^2+av+a. \end{eqnarray*}$

Diesen Gedankengang muss man erst einmal haben.

17.01.2019, 11:36

HAL 9000

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Ja, so ist das gedacht, bis auf den kleinen Schreibfehler am Ende, es muss $\begin{eqnarray*} Bv^2 = av^2+av+a \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

Original von Finn_
Diesen Gedankengang muss man erst einmal haben.

Naja, für die Finanzleute ist das täglich Brot, aber ich als Außenstehender gebe auch herzlich wenig auf dieses ganze fertige Formeluniversum von vorschüssigen/nachschüssigen Renten, Barwert/Endwert usw. sondern leite mir das mit Grundkenntnissen in geometrischen Reihen sowie GMV selbst her, mit solchen Gedanken, wie du sie auch gerade vorgetragen hast. Augenzwinkern

17.01.2019, 14:29

Sabine090791

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Damit ich mich hier noch einmal kurz zu Wort melde:

Ich habe keine höhere Schule besucht, sondern die Abendmatura bzw. Berufsreife nachgeholt, weshalb Mathematik da nicht recht groß am Programm stand.
Da ich aber ein Mensch bin, der nicht aufgeben mag und sagt er "streicht" eine Aufgabe bei einer Prüfung, war ich auf der Suche nach einer Lösung.

Meine Mathematikkenntnisse beruhen auf ein bisschen Mathe im Berufsreife-Vorbereitungskurs und auf das Studium gerade - und wir dürfen/können/sollen mit vorgegeben Formeln arbeiten.

Zum Thema von vorhin nochmal:
Da die Kollegin ein V zu viel in ihrer Angabe hatte - was ja falsch war - konnte ich die Aufgabe (meiner Meinung nach) nicht mit der quadratischen Formel lösen.
Als ich ihre Formel richtig gestellt habe, konnte ich ganz einfach auflösen.

Ihre Formel lautete:
B = a * v * (v^3 - 1) / (v - 1 )

die richtige ist:
B = a * (v^3 - 1) / (v - 1 )

Da mir leider in Mathematik der Durchblick fehlt und ich manche Dinge leider nicht so einfach sehe, tu ich mir auch mit dem Erklären etwas schwer.
Aber ich danke allen für Ihre Hilfe.

Mittlerweile lässt sich so ein Beispiel ganz gut rechnen.
Solange es nicht über v^3 hinausgeht.

17.01.2019, 15:11

tbcosinus

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Zitat:

Original von Sabine090791
die richtige ist:
B = a * (v^3 - 1) / (v - 1 )

Da nach v umgestellt komm ich auf v = -0,5 + sqrt ( B/a - 0,75 ) = -0,5 + sqrt ( 2160/800 - 0,75 ) = -0,5 + sqrt ( 1360/800 ) = -0,5 + sqrt ( 1,95 ) = 0,896424004

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