Kleine Grenzwertaufgabe

18.01.2019, 06:14

MatheKit

Kleine Grenzwertaufgabe

Hallo, ich bräuchte nen Rat, da ich keinen rechten Ansatz für eine (kleine) Aufgabe finde:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{(x+1)^p}{x^p + 1} \end{eqnarray*}$ , p > 0

Kann mir da jemand einen Tipp geben?

18.01.2019, 08:27

klarsoweit

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RE: Kleine Grenzwertaufgabe
Kürze den Bruch durch $\begin{eqnarray*} x^p \end{eqnarray*}$ . smile

18.01.2019, 08:41

adiutor62

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RE: Kleine Grenzwertaufgabe
https://www.mathelounge.de/603556/grenzw...itivem-exponent

18.01.2019, 08:50

MatheKit

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RE: Kleine Grenzwertaufgabe
Oh mann, ich bin so blind. Ich dachte das wäre komplizierter und suche die ganze Zeit nach einer speziellen Situation.

Aber klar:

Hab mir einfach mal nen kleineren Exponenten vorgestellt und dadurch zeigt sich eigentlich, dass als Grenzwert immer 1 gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{(x+1)²}{x²+1} = \lim_{x \to \infty } \frac{(x²+2x+1)}{x²+1} = \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x²(1 + \frac{1}{x} +\frac{1}{x²} )}{x^2}}{\frac{1}{x²}+1} \end{eqnarray*}$

Fragt sich nur noch, wie man das am besten formuliert... verwirrt

Aber das werd ich wohl selbst hinkriegen. Vielen Dank!

18.01.2019, 09:47

HAL 9000

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Das von klarsoweit erwähnt Kürzen von $\begin{eqnarray*} x^p \end{eqnarray*}$ kannst du im Zähler gemäß Potenzregel in die Potenzklammer hinein nehmen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^p}{x^p+1} = \frac{\frac{1}{x^p}(x+1)^p}{\frac{1}{x^p}\left(x^p+1\right)} = \frac{\left(\frac{x+1}{x}\right)^p}{1+\frac{1}{x^p}} = \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^p}{1+\frac{1}{x^p}} \end{eqnarray*}$ .

D.h., ein aufwändiges Ausmultiplizieren des Zählers wie in deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ ist nicht zwingend nötig.

18.01.2019, 22:11

whatssefak

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RE: Kleine Grenzwertaufgabe
Bin kein Mathepro und auch kein Mathestudent, also ihr könnt mich gerne korrigieren.
Aber könnte man hier nicht die p-ten Ableitungen angeben und dann mit L´Hospital zeigen, dass p! / p! = 1 ist?

18.01.2019, 22:22

URL

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RE: Kleine Grenzwertaufgabe
Das könnte man, wenn p>0 eine ganze Zahl wäre.

18.01.2019, 22:26

whatssefak

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RE: Kleine Grenzwertaufgabe

Zitat:

Original von URL
Das könnte man, wenn p>0 eine ganze Zahl wäre.

Jop, sowas übersehe ich, traurig

18.01.2019, 22:54

mYthos

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@MatheKit

Crossposting, d.h. das gleichzeitige Posten ein und desselben Themas in verschiedenen Foren, ist unfair, weil es mehrere Helfer unnötig bindet.
Im Prinzip besteht deswegen ein Schließungsgrund.

Unser Team behält sich vor, den Thread gegebenenfalls zu schließen.

mY+

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