Konvergenzradius von Potenzreihen

18.01.2019, 19:57

konrapot

Konvergenzradius von Potenzreihen

Hallo

Zu bestimmen sind die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 2^n} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (1+(-2)^n) \cdot x^n \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{(n^n)}}{n^n} \end{eqnarray*}$

Meine Lösungsvorschläge:

zu a) $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\frac{(n+1)2^{n+1}}{n \cdot 2^n}=2 \cdot (1+\frac{1}{n}) \Rightarrow r=\lim_{n \to \infty} 2 \cdot (1+\frac{1}{n})=2 \end{eqnarray*}$

zu b) $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!}=(1+\frac{1}{n})^n \Rightarrow r=\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e \end{eqnarray*}$

zu c) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (1+(-2)^n) \cdot x^n= \sum_{n=0}^{\infty} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n \cdot x^n \Rightarrow r=\lim_{n \to \infty} 1+|\frac{(-2)^n}{(-2)^{n+1}}|=\lim_{n \to \infty} 1+|-\frac{1}{2}|=1,5 \end{eqnarray*}$

zu d) Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} n^n=k \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} \Rightarrow r=\lim_{k \to \infty} |\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k+1}}|=\lim_{k \to \infty} 1+\frac{1}{k}=1 \end{eqnarray*}$

Passt das oder habe ich mich irgendwo vertan ?

18.01.2019, 21:40

konrapot

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Korrekturvorschlag zu c)

$\begin{eqnarray*} r=min(1,\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

19.01.2019, 15:42

10001000Nick1

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a) und b) sind richtig.

Bei c) ist die Idee mit dem Minimum der beiden Konvergenzradien auf jeden Fall besser als die Summe; letzteres wäre wirklich völlig absurd. Augenzwinkern

Es kann aber passieren, dass die Summe zweier Potenzreihen einen größeren Konvergenzradius hat als das Minimum der beiden einzelnen Konvergenzradien. Nur kleiner als das Minimum ist er sicher nicht.
Du wirst also das ganze mit $\begin{eqnarray*} a_n=1+(-2)^n \end{eqnarray*}$ rechnen müssen.

Deine Umformung bei d) ist falsch; bei der Reihe mit Summationsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hast du viel mehr Summanden: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n^n}}{n^n}=x+\frac{x^4}{4}+\frac{x^{27}}{27}+\dots \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n^n}}{n^n}=\sum_{k=1}^\infty a_k x^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k=\begin{cases} \frac 1k & \text{falls } k=n^n \text{ für ein } n\in\mathbb N \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

19.01.2019, 17:12

konrapot

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Zitat:

Es kann aber passieren, dass die Summe zweier Potenzreihen einen größeren Konvergenzradius hat als das Minimum der beiden einzelnen Konvergenzradien.

Ich meine wir hatten einen Satz in der Vorlesung, dass bei verschiedenen Radien dann tatsächlich Gleichheit gilt - ich kann aber nochmal nachschauen.

Ansonsten dann halt ganz normal so, oder ?

$\begin{eqnarray*} |\frac{1+(-2)^n}{1+(-2)^{n+1}}|=|\frac{(\frac{1}{-2})^n+1}{(\frac{1}{-2})^n-2}| \Rightarrow r=\lim_{n \to \infty} |\frac{(\frac{1}{-2})^n+1}{(\frac{1}{-2})^n-2}|=|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Deine Umformung bei d) ist falsch; bei der Reihe mit Summationsindex k hast du viel mehr Summanden

Stimmt, werde ich verbessern. Danke.
Hat aber hier keinen Einfluss auf den Konvergenzradius, der nach wie vor 1 ist, oder ?

19.01.2019, 17:55

10001000Nick1

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Du hast Recht, das hatte ich übersehen. Wenn die Summe einen größeren Konvergenzradius hat als das Minimum der beiden einzelnen Radien, dann sind beide gleich.

Bei d) ist zwar Konvergenzradius 1 richtig, die Begründung passt aber nicht.
Weil du hier unendlich viele $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ hast, die gleich Null sind, kannst du hier nicht mit der Formel arbeiten, die du bei den anderen Aufgaben benutzt hast. Du brauchst z.B. die Formel von Cauchy-Hadamard $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \end{eqnarray*}$ .
Andere Möglichkeit: Wenn du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, kannst du das mit dem Majorantenkriterium auch für die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_kx^k \end{eqnarray*}$ zeigen.
Dann zeigst du noch Divergenz für $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ (z.B. weil $\begin{eqnarray*} (\frac{x^{n^n}}{n^n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in diesem Fall keine Nullfolge ist). Daraus folgt ebenfalls, dass der Konvergenzradius 1 ist.

19.01.2019, 18:42

konrapot

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Alles klar, danke. Wink

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