Aufgabe zu Differenzialgleichung erster Ordnung

19.01.2019, 09:18	Micha9876	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Differenzialgleichung erster Ordnung Meine Frage: Guten Morgen miteinander, ich lerne zurzeit unteranderem für eine Matheprüfung in meinem Elektrotechnikstudium und bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich nicht gelöst bekomme. Bevor ich noch mehr Zeit investiere, hoffe ich, dass ihr mir bei der Aufgabe helfen könnt. Nun zu der Aufgabe: $\begin{eqnarray} xy'=y-x-xe^{-y/x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe im ersten Schritt denn ganzen Term durch x geteilt, wobei ich danach auf folgendes kam: $\begin{eqnarray} y'=(y/x)-1-e^{-y/x} \end{eqnarray}$ Dann habe ich das y/x mit z substituiert: $\begin{eqnarray} z=y/x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=z-1-e^{-z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=(y'x-y)/x^2 \end{eqnarray}$ Durch einsetzen von y' und y=zx in z' komme ich nach rausstreichen von x auf folgendes, wo ich dann nicht mehr weiter weiß: $\begin{eqnarray} z'=(-1-e^{-z})/x \end{eqnarray}$ Ich hatte angefangen, dass -1-e^{-z} nochmal zu substituieren, was ber nicht zum Erfolg geführt hat.
19.01.2019, 11:22	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Differenzialgleichung erster Ordnung Die Variablen lassen sich an dieser Stelle ja trennen: $\begin{eqnarray} z' \left ( \frac{1}{1+e^{-z}} \right ) = - \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{1+e^{-z}} \dd z = - \int \frac{1}{x} \, \dd x \end{eqnarray}$ Erweitert man den Bruch links mit $\begin{eqnarray} e^z \end{eqnarray}$ , ergibt sich $\begin{eqnarray} \int \frac{e^z}{e^z+1} \dd z = - \int \frac{1}{x} \, \dd x \end{eqnarray}$ Die linke Seite lässt sich auf diese Art simpel intergrieren, im Zähler steht ja die Ableitung des Nenners.

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