Schnittpunkt von Ellipse und Kreis

Neue Frage »

Lorry Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Meine Frage:
Ich habe einen Kreis im Ursprung und eine Ellipse, die beliebig im Raum liegt. Sofern Schnittpunkte vorhanden sind, möchte ich diese gerne bestimmen.

Ziel ist eigentlich, beim Vorhandensein von einem oder zwei Schnittpunkte(die Annahme kann getroffen werden, dass maximal zwei Schnittpunkte vorliegen) den maximalen Abstand von Ellipse zum Kreis in Verlängerung des Mittelpunktes zu bestimmen.

Meine Ideen:
Für den Kreis gilt einfach
Für die Ellipse gilt einfach

Dabei sind x0 und y0 die Koordinaten des Ellipsenursprung, r der Radius des Kreises und a und b die Halbachsen.
Leider ist hier immer noch nicht die Drehung der Matrize mit einbezogen, welche ich gerne aufnehmen würde.

Weiterhin suche ich nun nach einer Gleichung 4. Grades für die x/y Koordinate nach dem Gleichsetzen der beiden Gleichungen. Diese könnte ich dann numerisch leichter lösen, als das oben.

Ich wäre auch offen für eine Koordinatentransformation, falls jemand hier eine gute Idee hat. Stehe leider ziemlich auf dem Schlauch.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Zitat:
Original von Lorry
Ziel ist eigentlich, beim Vorhandensein von einem oder zwei Schnittpunkte(die Annahme kann getroffen werden, dass maximal zwei Schnittpunkte vorliegen) den maximalen Abstand von Ellipse zum Kreis in Verlängerung des Mittelpunktes zu bestimmen.

Woher weißt du, dass es maximal 2 Schnittpunkt gib? Maximal kann es im Allgemeinen ja 4 Schnittpunkte geben.

Was meinst du mit Abstand? Wenn es Schnittpunkte gib, ist der Abstand im Sinne der kleinsten Entfernung zwischen den Punkten des Kreises und der Ellipse ja 0.


Zitat:
Für den Kreis gilt einfach Für die Ellipse gilt einfach

Weiterhin suche ich nun nach einer Gleichung 4. Grades für die x/y Koordinate nach dem Gleichsetzen der beiden Gleichungen. Diese könnte ich dann numerisch leichter lösen, als das oben.

Löse die erste Gleichung nach z.B auf und setze das Ergebnis in die zweite Gleichung ein. Bringe die verbleibenden Wurzelterme auf eine Seite der Gleichung, den Rest auf die andere Seite und quadriere dann.
Lorry Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Hallo Huggy,

danke für deine schnelle Antwort. Das Problem ist in meinem Fall so konzipiert, sich zwei Objekte umeinander Bewegen und bei einer Überschneidung ihre Richtung ändern. Dadurch sollte es bei funktionierender Steuerung einen oder 2 Schnittpunkte geben.

Gute Frage. Inzwischen versuche ich deshalb die Schnittfläche zu berechnen. Dies funktioniert in Matlab auch, jedoch nicht schnell genug für einen Online Anwendung. unglücklich

Danke für den Hinweis. Ich hatte anschließend nur nicht oft genug quadriert. Irgendwann sind tatsächlich alle Wurzelterme verschwunden. Das hat mir sehr geholfen.

Ich musste wohl einsehen, dass das Problem analytisch überhaupt nicht zu lösen ist und numerisch zu lange braucht. Deshalb versuche ich mich gerade an einer Approximation, bin aber immer noch nicht schlauer.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Zitat:
Original von Lorry
Ich musste wohl einsehen, dass das Problem analytisch überhaupt nicht zu lösen ist

Analytisch lösbar ist das schon. Man bekommt ja eine quartische Gleichung für die Schnittpunkte und die ist mit den Cardanischen Formeln lösbar. Falls Matlab diese nicht implementiert hat, lassen sie sich leicht programmieren. Ob das dann für deine Steuerung schnell genug ist, müsstest du ausprobieren
Lorry Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Lorry
Ich musste wohl einsehen, dass das Problem analytisch überhaupt nicht zu lösen ist

Analytisch lösbar ist das schon. Man bekommt ja eine quartische Gleichung für die Schnittpunkte und die ist mit den Cardanischen Formeln lösbar. Falls Matlab diese nicht implementiert hat, lassen sie sich leicht programmieren. Ob das dann für deine Steuerung schnell genug ist, müsstest du ausprobieren


Danke für den Hinweis. Das werde ich direkt mal probieren. Bleibt natürlich noch die Schnittfläche. Falls du eine Idee hast, freue ich mich natürlich, aber ich probiere erstmal weiter. smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Für die Schnittfläche brauchst du doch erst mal die Schnittpunkte. Daher erscheint mir das nicht zielführend.
 
 
Lorry Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Zitat:
Original von Huggy
Für die Schnittfläche brauchst du doch erst mal die Schnittpunkte. Daher erscheint mir das nicht zielführend.


Hallo Huggy,
die Schnittpunkte habe ich ja dank deiner Hilfe zumindest für den nicht gedrehten Fall berechnen können. Hier mein Ansatz, den ich dann mit den Cardanischen Formeln und Substitution nach Ferrari lösen kann. Ich habe hier auch nur den einen Fall aufgeschrieben. Für minus erfolgt das ganze natürlich analog. Nun probiere ich an die Schnittfläche zu kommen, bin mir aber noch nicht ganz schlüssig, wie ich das ganze zu interpretieren habe.[attach]48788[/attach]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Kreis
Zitat:
Original von Lorry
Nun probiere ich an die Schnittfläche zu kommen, bin mir aber noch nicht ganz schlüssig, wie ich das ganze zu interpretieren habe.

Was meinst du mit interpretieren? Eine Schnittfläche ist eine Schnittfläche. Man könnte sie natürlich in Relation zu der Kreisfläche oder zu der Ellipsenfläche setzen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »