Divergenz eines Vektorfeldes geometrisch - Seite 2

29.01.2019, 12:38

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo

In meiner alten Mathematicaversion gibt es nur StreamPlot, aber kein StreamPlot3D. Man kann bei mir also nur Vektorfelder in der Ebene mit StreamPlot zeichnen. Um das zu machen, muss man den Befehl VectorPlot einfach durch StreamPlot ersetzen.

29.01.2019, 12:58

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ich habe auch kein Streamplot3D verwirrt

verwirrt

Also wird es uns weniger helfen oder ? Du hast doch bestimmt ein weg wie man das gewünschte trotzdem erreichen könnte Big Laugh

Big Laugh

29.01.2019, 13:07

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Da muss ich dich enttäuschen. Ein StreamPlot3D per Hand in Mathematica zu programmieren, dürfte recht aufwendig sein. Ich habe das nie versucht.

29.01.2019, 13:27

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
hmm und kennst du alternativen ohne Streamplot ? Vllt könnten wir mit den Pfeilen wieder arbeiten verwirrt

verwirrt

aber irgendwie muss das auch übersichtlich sein.
StreamPlot3D gibt es in keiner Mathematica version oder ?

30.01.2019, 09:02

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo

Zitat:

Original von lucy21
hmm und kennst du alternativen ohne Streamplot ? Vllt könnten wir mit den Pfeilen wieder arbeiten verwirrt

verwirrt

aber irgendwie muss das auch übersichtlich sein.

Aus der graphischen Darstellung eines Vektorfeldes kann man nur sehr grob und qualitativ auf die Divergenz des Feldes schließen. Manchmal wird man nicht mal das Vorzeichen richtig einschätzen. Wenn man ein Feld im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hat, würde ich mit den Kurven konstanter Divergenz arbeiten. Die kann man, wenn man will, mit der Felddarstellung über VectorPlot oder StreamPlot kombinieren. Bei einem Feld auf einer gekrümmten Fläche, die mit den Parametern $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ parametrisiert ist, würde ich die Kurven konstanter Divergenz in eine $\begin{eqnarray*} u_1-u_2 \end{eqnarray*}$ -Ebene zeichnen.

Zitat:

StreamPlot3D gibt es in keiner Mathematica version oder ?

Mir ist keine bekannt.

30.01.2019, 11:17

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Hmm wie geht das kannst du mir das bitte zeige. ? traurig

traurig

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30.01.2019, 14:14

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Habe das mal für das $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ -Vektorfeld $\begin{eqnarray*} ((x^3+y^3)/3,(x^3-y^3)/3)) \end{eqnarray*}$ mit der Divergenz $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ gemacht. Bei einer parametrisierten Fläche würden die Parameter die Rolle von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ übernehmen.

[attach]48838[/attach]

(Anklicken des Bildes vergrößert es.)

30.01.2019, 14:53

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Hmm sieht irgendwie kompliziert aus verwirrt

verwirrt

Was muss ich denn in Streamplot eingeben? Ich habe doch ein 3D-Vektorfeld verwirrt

verwirrt

30.01.2019, 15:02

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Eine Frage Huggy.

Ich habe die Tangentialebene des Katenoids im Punkt (0,pi/2) berechnet. Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} T_{p}S=\textrm{ Bild}(DF(u_{0}))= \textrm{ img}(DF(u_0))=\left\{ \lambda_{1} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 0\\<br /> 0 \\<br /> 1<br /> \end{pmatrix} +\lambda_{2}<br /> \begin{pmatrix}<br /> -1\\<br /> 0 \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix} \vert \lambda_{1},\lambda_{2} \in \mathbb{R} \right\} \end{eqnarray*}$

kann das stimmen?

Habe dazu eine Skizze gemacht aber weiss nicht ob die passt.

31.01.2019, 09:05

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Das wird ja ein endloser Thread.

Zitat:

Original von lucy21Hmm sieht irgendwie kompliziert aus?

Du kannst es dir auch einfach machen. Male einen dicken Punkt in deiner Lieblingsfarbe. Starre ihn intensiv an und stelle dir dabei das Vektorfeld vor deinem geistigen Auge vor. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Was muss ich denn in Streamplot eingeben? Ich habe doch ein 3D-Vektorfeld

In deinen Beispielen war das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} VF \end{eqnarray*}$ auf einer Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ definiert und es lag dort innerhalb der Tangentialebene an dem jeweils betrachteten Punkt. Es ließ sich also darstellen als

$\begin{eqnarray*} VF=\alpha (u,v) \vec F_u + \beta (u,v) \vec F_v =\alpha' (u,v) \vec e_u + \beta' (u,v) \vec e_v \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \vec F_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec F_v \end{eqnarray*}$ die sich aus der Parametrisierung $\begin{eqnarray*} F(u,v) \end{eqnarray*}$ der Fläche ergebenden Tangentenvektoren und $\begin{eqnarray*} \vec e_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec e_v \end{eqnarray*}$ die dazugehörigen Einheitsvektoren. Außerdem waren in deinen Beispielen die beiden Tangentenvektoren und damit die dazugehörigen Einheitsvektoren orthogonal zueinander. Nun vergleiche diese Darstellung mit der Darstellung eines Vektorfeldes im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} VF=a(x,y) \vec e_x +b(x,y) \vec e_y \end{eqnarray*}$

mit den zueinander orthogonalen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec e_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec e_y \end{eqnarray*}$ in x- und y-Richtung. Siehst du die formale Übereinstimmung der Darstellung. Ob man die graphische Darstellung in einer $\begin{eqnarray*} (u,v) \end{eqnarray*}$ -Ebene als anschaulich, nützlich oder so etwas betrachtet, ist eine ganz andere Frage.

Bei deiner Tangentialebene fehlt der Stützvektor $\begin{eqnarray*} (0,1,0) \end{eqnarray*}$ . Die betrachtete Tangentialebene muss doch durch diesen Punkt gehen.

31.01.2019, 10:50

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
"Du kannst es dir auch einfach machen. Male einen dicken Punkt in deiner Lieblingsfarbe. Starre ihn intensiv an und stelle dir dabei das Vektorfeld vor deinem geistigen Auge vor. Big Laugh

Big Laugh

"

haha so kann man es auch machen Big Laugh

Big Laugh

.

"Bei deiner Tangentialebene fehlt der Stützvektor (0,1,0). Die betrachtete Tangentialebene muss doch durch diesen Punkt gehen."

wie kommst du drauf ?

Wenn wir eine lokale Parametrisierung gegeben haben berechnet sich die Tangentialebene durch

Bild(DF(u0)). verwirrt

verwirrt

31.01.2019, 11:28

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ich habe keine Ahnung, was ihr unter der Tangentialebene an eine Fläche in einem Punkt $\begin{eqnarray*} (u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ versteht. Wenn $\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ die Parametrisierung der Fläche ist, versteht man üblicherweise darunter eine Ebene, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ geht und dort von den Tangentenvektoren $\begin{eqnarray*} F_{u_1}(u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} F_{u_2}(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird. Die Tangentialebene ist also

$\begin{eqnarray*} T(u_1,u_2)=F(u_1,u_2)+\lambda_1 F_{u_1}(u_1,u_2) + \lambda_2 F_{u_2}(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} F(0, \pi /2) =(0,1,0) \end{eqnarray*}$ . Nach der üblichen Definition muss die Tangentialebene durch diesen Punkt gehen. Das tut sie bei dir nicht, weil bei dir der Term $\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ in deiner Tangentialebene fehlt. Falls ihr eine Definition von Tangentialebene in einem Punkt hattet, bei der die Tangentialebene gar nicht durch diesen Punkt geht, kann ich die Frage, ob deine Tangentialebene korrekt ist, nicht beantworten. Eine solche andere Definition würde mich aber stark wundern.

31.01.2019, 11:57

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Die Definition:

Sei S eine reguläre Fläche, sei $\begin{eqnarray*} p \in S \end{eqnarray*}$ . Sei ferner (U;F;V) eine lokale Parametrisierung von S um p. Wir setzen $\begin{eqnarray*} u_{0}:=F^{-1}(p) \in U \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt

$\begin{eqnarray*} T_{p}S=Bild(D_{u_0}F)=D_{u_0}F(R^2) \end{eqnarray*}$ .

Voll komisch verwirrt

verwirrt

31.01.2019, 12:55

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Mit dieser Definition kann ich nichts anfangen. Dafür fehlt mir das Hintergrundwissen zu eurer Symbolik und zu euren Definitionen. Da kann ich leider nicht weiterhelfen.

01.02.2019, 16:37

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo

Zitat:

Original von Huggy
Ich habe keine Ahnung, was ihr unter der Tangentialebene an eine Fläche in einem Punkt $\begin{eqnarray*} (u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ versteht. Wenn $\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ die Parametrisierung der Fläche ist, versteht man üblicherweise darunter eine Ebene, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ geht und dort von den Tangentenvektoren $\begin{eqnarray*} F_{u_1}(u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} F_{u_2}(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird..

Nach Konsultation eines Bekannten, der sich in Differentialgeometrie auskennt, muss ich mich korrigieren. Offenbar ist es in der Differentialgeometrie durchaus üblich, nicht diese Ebene, sondern die zu ihr parallele Ebene durch den Koordinatenursprung als Tangentialebene zu bezeichnen. In diesem Sinne wäre die von dir berechnete Tangentialebene korrekt und die von dir genannte Definition soll wohl genau das ausdrücken.

01.02.2019, 16:52

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Hey Huggy. Danke für die Information.

Ich finde es aber nicht verkehrt wenn man sich dann auch

T_pS +p anschaut. Denn das ist ja dann die Tangentialebene durch den Punkt p= F(0,pi/2). Oder spricht was dagegen?

01.02.2019, 17:57

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen. Bei Aufgaben muss man sich natürlich an die Definitionen der Vorlesung halten.

01.02.2019, 18:01

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ja genau smile

smile

Könntest du vllt schauen ob meine Rechnung aus dem neuen Beitrag stimmt?
Wäre echt nett, falls nein ist das auch kein Problem

02.02.2019, 13:37

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Da ich mit eurer Symbolik nicht vertraut bin, würde mir das schwer fallen. Wie ich sehe, hast du aber schon eine Antwort.

02.02.2019, 14:14

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Mhh okay. Ich wollte dich noch was fragen. Ich denke dieser Thread passt sehr gut dazu.
c ist eine Kurve.
Ein Vektorfeld längs c ist bei uns wie folgt definiert:
Sei $\begin{eqnarray*} S \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ eine reguläre Fläche, sei $\begin{eqnarray*} c: I \to S \end{eqnarray*}$ eine parametrisierte Kurve. Ein Vektorfeöd an S längs c ist eine Abbildung v: I to R^3, so dass $\begin{eqnarray*} v(t) \in T_{c(t)}S \end{eqnarray*}$ für alle t element I.

Ich habe mir dazu die Sphäre genommen und die Kurve c
$\begin{eqnarray*} c=( cos(t)cos(\theta),sin(t)cos(\theta), sin(\theta) )^T \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \theta \in (0, 2\pi)( \end{eqnarray*}$ genommen.

Durch das Geschwindigkeitsfeöd $\begin{eqnarray*} \dot{c}=(-sin(t)cos(\theta),cos(t)cos(\theta),0)^T \end{eqnarray*}$ ist dann ein Vektorfeld längs der Kurve c gegeben. Ich habe das nun für $\begin{eqnarray*} \theta=0 \end{eqnarray*}$ geplottet mit deinen Tricks. Ich möchte gerne deine Meinung wissen ob das Bild passt.

03.02.2019, 08:41

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Kein Einwand.

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