Nullfolge zeigen

20.01.2019, 14:51

Jens1997fqgf

Nullfolge zeigen

Meine Frage:
k ist eine natürliche Zahl, b liegt zwischen 1 und unendlich reell.

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n^{k}}{b^{n}} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Dafür soll ich: $\begin{eqnarray*} \frac{|x_{n+1} | }{|x_{n}| } <1 \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich als Kriterium nutzen.

Meine Ideen:
Ich habe die Folge über dem Bruchstrich mit n+1 und darunter mit n eingesetzt und umgeformt. Am Ende kam ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{|(n+1)^{k}|}{|bn^{k}|} \end{eqnarray*}$
Wie weiß ich jetzt, dass das kleiner als 1 ist?

20.01.2019, 15:07

forbin

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RE: Nullfolge zeigen

Zitat:

Original von Jens1997fqgf

Wie weiß ich jetzt, dass das kleiner als 1 ist?

Ist es nicht. Aber da sollst du ja auch nicht zeigen Augenzwinkern

21.01.2019, 00:34

Jens1997djvhsk

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RE: Nullfolge zeigen
Laut Kriterium ja schon, oder?

21.01.2019, 05:44

forbin

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Allerdings.
Du hast aber gefragt wann der Ausdruck kleiner 1 ist.
Das Kriterium verlangt etwas anderes.

21.01.2019, 14:05

Jens24738

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Was ist denn nun die Herangehensweise? verwirrt

21.01.2019, 16:42

forbin

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RE: Nullfolge zeigen

Zitat:

Original von Jens1997fqgf
Meine Frage:
Dafür soll ich: $\begin{eqnarray*} \frac{|x_{n+1} | }{|x_{n}| } <1 \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich als Kriterium nutzen.
?

Na, du hast es doch bereits gesagt. Wende es mal an Augenzwinkern

21.01.2019, 20:09

C-Math

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RE: Nullfolge zeigen
vielleicht hilft das noch:

da alles positiv ist kann man die Betragsstriche weglassen glaube ich

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k}}{bn^{k}}\leq \frac{1+nk}{bn^{k}} = ... < 1 \end{eqnarray*}$

mit Bernoulli.

21.01.2019, 20:21

C-Math

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RE: Nullfolge zeigen
Ich ziehe die Antwort zurück unglücklich

habe die Bernoulli Ungleichung verdreht..

22.01.2019, 10:42

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{bn^k} = \frac{1}{b}\left(\frac{n+1}{n}\right)^k = \frac{1}{b}\left(1+\frac{1}{n}\right)^k \end{eqnarray*}$

Was passiert nun mit dem Term für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

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