Elliptische Zylinderkoordinaten

22.01.2019, 08:56

MatheFredo

Elliptische Zylinderkoordinaten

Meine Frage:
Bestimmen Sie die Jakobi-Determinante für die Transformation von kartesischen Koordinaten zu elliptischen Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} u_1, u_2, z \end{eqnarray*}$ wobei

$\begin{eqnarray*} x = a cosh(u_1) cos (u_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = a sinh(u_1) sin (u_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = z \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u_1 \geq 0, 0 \leq u_2 < 2\pi und -\infty < z < \infty \end{eqnarray*}$ . Hier ist a ein fest vorgegebener positiv. Parameter. Geben Sie das Volumenelement dV in diesen Koordinaten an.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

die Jacobi-Determinante aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} asinh(u_1)cos(u_2) & -acosh(u_1)sin(u_2) & 0 \\ acosh(u_1)sin(u_2) & asinh(u_1)cos(u_2) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Determinante berechnet:

$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)cos^2(u_2) + a^2 cosh^2(u_1) sin^2(u_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)+ a^2 cosh^2(u_1) \end{eqnarray*}$
stimmt denn der Ansatz?

22.01.2019, 09:28

klarsoweit

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RE: Elliptische Zylinderkoordinaten
Ich habe keine Einwände. smile

EDIT: Oh je, da hatte ich wohl einige Tomaten auf den Augen. Sorry! Hammer

22.01.2019, 10:14

HAL 9000

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RE: Elliptische Zylinderkoordinaten

Zitat:

Original von MatheFredo
$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)cos^2(u_2) + a^2 cosh^2(u_1) sin^2(u_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)+ a^2 cosh^2(u_1) \end{eqnarray*}$

Was ist zwischen diesen beiden Zeilen passiert, d.h. wie ist das $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ verschwunden?

Wenn ich von der ersten Zeile ausgehend nachrechne, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} && a^2\sinh^2(u_1)\cos^2(u_2) + a^2\cosh^2(u_1)\sin^2(u_2) = a^2\sinh^2(u_1)(1-\sin^2(u_2)) + a^2\cosh^2(u_1)\sin^2(u_2)\\ &=& a^2\sinh^2(u_1)+ a^2(\cosh^2(u_1)-\sinh^2(u_1))\sin^2(u_2) = a^2(\sinh^2(u_1) + \sin^2(u_2)) \end{eqnarray*}$

22.01.2019, 10:18

MatheFredo

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RE: Elliptische Zylinderkoordinaten
Ich kommen dann ab hier nicht mehr weiter.

$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)cos^2(u_2) + a^2 cosh^2(u_1) sin^2(u_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)+ a^2 cosh^2(u_1) \end{eqnarray*}$

Ich weiss nur, dass ich den Betrag dieser Determinante berechnen muss:

$\begin{eqnarray*} | a^2 sinh^2 (u_1)+ a^2 cosh^2(u_1) | = a^2 sinh^2 (u_1) - a^2 cosh^2(u_1) \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2019, 10:40

klarsoweit

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RE: Elliptische Zylinderkoordinaten
HAL 9000 hat doch gezeigt, wie die Umformung funktioniert.

Danke auch an HAL 9000, daß er die Tomaten von meinen Augen entfernt hat.

22.01.2019, 15:29

MatheFredo

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RE: Elliptische Zylinderkoordinaten

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MatheFredo
$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)cos^2(u_2) + a^2 cosh^2(u_1) sin^2(u_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2sinh^2(u_1)+ a^2 cosh^2(u_1) \end{eqnarray*}$

Was ist zwischen diesen beiden Zeilen passiert, d.h. wie ist das $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ verschwunden?

Wenn ich von der ersten Zeile ausgehend nachrechne, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} && a^2\sinh^2(u_1)\cos^2(u_2) + a^2\cosh^2(u_1)\sin^2(u_2) = a^2\sinh^2(u_1)<b>(1-\sin^2(u_2)) </b>+ a^2\cosh^2(u_1)\sin^2(u_2)\\ &=& a^2\sinh^2(u_1)+ a^2(\cosh^2(u_1)-\sinh^2(u_1))\sin^2(u_2) = a^2(\sinh^2(u_1) + \sin^2(u_2)) \end{eqnarray*}$

hast Du hier die trigonometrische Relation $\begin{eqnarray*} cos^2(u_1)+sin^2(u_1)=1 \end{eqnarray*}$ verwendet?

Hier hast Du die Relation: cosh^2(u_1)-sinh^2(u_1)=1 verwendet. Wo kommt aber das sinh^2(u_1) her?

ich habe zwischen den Zeilen den Rechenschritt $\begin{eqnarray*} sin^2(u_2)+cos^2(u_2)=1 \end{eqnarray*}$ gehabt.

22.01.2019, 16:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheFredo
hast Du hier die trigonometrische Relation $\begin{eqnarray*} cos^2(u_1)+sin^2(u_1)=1 \end{eqnarray*}$ verwendet?

Naja, für $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ , sowie außerdem anschließend auch noch $\begin{eqnarray*} \cosh^2(u_1)-\sinh^2(u_1)=1 \end{eqnarray*}$ , den "hypergeometrischen Pythagoras". Augenzwinkern

22.01.2019, 16:08

MatheFredo

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wäre es denn falsch gewesen erst a^2 auszuklammern?:

dann hätte man $\begin{eqnarray*} a^2 ( sinh^2(u_1)cos^2(u_2) + cosh^2 (u_1)sin^2 (u_2)) gehabt. \end{eqnarray*}$

dann mit $\begin{eqnarray*} sin^2(u_2) + cos^2(u_2)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 ( sinh^2(u_1) + cosh^2(u_1)) \end{eqnarray*}$

cosh^2(u_1)-sinh^2(u_1)=1 zu rechnen?

22.01.2019, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheFredo
$\begin{eqnarray*} a^2 ( sinh^2(u_1)cos^2(u_2) + cosh^2 (u_1)sin^2 (u_2)) gehabt. \end{eqnarray*}$

dann mit $\begin{eqnarray*} sin^2(u_2) + cos^2(u_2)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 ( sinh^2(u_1) + cosh^2(u_1)) \end{eqnarray*}$

Was bitte rechnest du da??? Ich kürz mal ab: Aus $\begin{eqnarray*} b+d=1 \end{eqnarray*}$ willst du schlussfolgern $\begin{eqnarray*} ab+cd \stackrel{???}{=} a+c \end{eqnarray*}$ ?

Genau das tust du, und zwar mit $\begin{eqnarray*} a=\sinh^2(u_1),b=\cos^2(u_2),c=\cosh^2(u_1),d=\sin^2(u_2) \end{eqnarray*}$ . Hatten wir nicht oben schon zur Genüge geklärt, dass das Nonsens ist, jetzt zerrst du das wieder hervor. unglücklich

22.01.2019, 16:32

MatheFredo

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Danke.
Um jetzt das Volumenelement dV in diesen Koordinaten anzugeben, mache ich folgendes:

dx dy dz = $\begin{eqnarray*} | \begin{vmatrix} asinh(u_1)cos(u_2) & -acosh(u_1)sin(u_2) & 0 \\ acosh(u_1)sin(u_2) & asinh(u_1)cos(u_2) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} | du_1, du_2, dz [latex] <br /> <br /> | a^2(\sinh^2(u_1) + \sin^2(u_2))| \end{eqnarray*}$

ich berechne den Betrag der Jakobi-Determinante, oder? Weiter komme ich nicht

22.01.2019, 16:36

HAL 9000

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Naja, dort sind wir doch schon: $\begin{eqnarray*} \dd x ~ \dd y ~ \dd z = a^2(\sinh^2(u_1)+\sin^2(u_2)) ~ \dd u_1 ~ \dd u_2 ~ \dd z \end{eqnarray*}$

22.01.2019, 16:38

MatheFredo

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an den Vorzeichen ändert sich nichts? Die bleiben trotz des Betrags positiv, weil die vorkommenden Terme ein ^2 in sich tragen.

22.01.2019, 16:39

MatheFredo

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und wäre damit die Aufgabe gelöst?