Abbildungseigenschaften (injektiv, surjektiv, bijektiv)

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emmyy Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungseigenschaften (injektiv, surjektiv, bijektiv)
Meine Frage:
Hallo zusammen,

dieses Thema wurde gefühlt schon 1000 mal behandelt, aber ich werde immer noch nicht so recht schlau daraus.

Meine Aufgabe ist es, von den untenstehenden Funktionen zu zeigen, ob sie injektiv, surjektiv und bijektiv sind:

a) f: N -> Q: f(x) = 1/2 * x + 1 , x element N
b) f: Q -> Q: f(x) = 1/2 * x + 1 , x element N



Meine Ideen:
Für Injektivität gilt ja:
wenn f(x) = f(y), dann x = y. Das würde also bedeuten:
1/2 * x + 1 = 1/2 * y + 1 also:
x = y
Somit müssten also a) und b) beide injektiv sein.

Für Surjektivität gilt:
für alle y aller Y existiert ein x aller X mit der Eigenschaft: f(x) = y.
Umgeformt:
x = (y-1) * 2
Nun bin ich mir unsicher, ob a) und b) surjektiv (und damit auch bijektiv, sofern meine Annahmen zur Injektivität stimmen) sind. Die Bildmengen sind ja beides mal rationale Zahlen, die Urbildmengen sind allerdings verschieden! Spontan würde ich sagen, b) ist surjektiv und a) nicht. Wie kann ich so etwas formal zeigen?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegungen zur Injektivität stimmen. Zur Surjektivität hast du das Urbild zu einem rationalen ja nun schon bestimmt (wenn es existiert ist es wegen Objektivität eindeutig). Sind die Urbilder nun jeweils immer auch rationale Zahlen? Sind sie sogar natürliche Zahlen?
 
 
emmyy Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Überlegungen:

sie sind nicht unbedingt natürliche Zahlen, da z. B. für x = -1 gilt: f(-1) = -4 , also ist a) injetkiv, aber nicht surjektiv und b) ist injektiv und surjektiv und somit auch bijektiv. Stimmt das so?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von emmyy
da z. B. für x = -1 gilt: f(-1) = -4

Da verwechselst du etwas. Außerdem sind die Quantoren wichtig: finde ein (oder mehrere?) , sodass es kein gibt mit .
emmyy Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje, da habe ich tatsächlich Urbild und Bild durcheinandergebracht! Entschuldige bitte.

Demnach müssten beide Funktionen auch surjektiv sein, sehe ich das richtig? Ich stehe momentan etwas auf dem Schlauch.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von emmyy
Demnach müssten beide Funktionen auch surjektiv sein, sehe ich das richtig?

Das solltest du dir nochmal durch den Kopf gehen lassen.
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