Zufallsstichprobe

22.01.2019, 18:14	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsstichprobe Wir betrachten eine Grundgesamtheit von N = 6 Personen. Person 1 und 4 sind Raucher, die anderen sind Nicht-Raucher. Bestimmen Sie alle Stichproben vom Umfang n = 3 und betrachten Sie die Verteilung des Anteils an Rauchern über alle möglichen Stichproben; berechnen Sie deren Er-wartungswert und Varianz. Wiederholen Sie die Analysen für Stichproben vom Umfang n = 5. Meine Idee: Komm nicht weiter, finde keine ähnlichen Beispiele, bzw. weiß nicht wonach ich suchen soll. Also zuerst soll man die Verteilung des Anteils an Rauchern betrachten. Umfrang: n=3, man wählt also zufällig 3 Personen. Wir haben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} = \frac{N!}{n!(N-n)!} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \end{eqnarray}$ mögliche Stichproben. Muss man nun alle Stichproben auflisten, und dann den Mittelwert jeder Stichprobe berechnen ? Soll ich dann Raucher =1 und Nicht Raucher = 0 bezeichnen. Erwartungswert ist dann (Summer der Mittelwerte) * 1/20
22.01.2019, 19:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
mit Verteilung ist hier Wahrscheinlichkeitsfunktion und nicht deren linksseitige Aufsummationsfunktion gemeint. Was ist die Wkt.funktion? = eine Tabelle der möglichen Ergebnisse und den zugehörigen Wkts. von was? = von einer Zufallsgröße, und die muss erst definiert werden. Hier könnte man definieren: R ist die Anzahl der Raucher je Stichprobe. Welche Ausprägung hat R? = Die Zufallsgröße kann die Werte 0,1,2 annehmen. Nun solltest du die zugehörigen Wkts $\begin{eqnarray} p_0,p_1,p_2 \end{eqnarray}$ bestimmen und erhalten für R die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x): $\begin{align} \begin{array}{\|\|\|c\|c\|c\|c\|}\hline x & 0 &1 & 2 \\\hline P(R=x) & p_0 & p_1& p_2 \\ \hline \end{array} \end{align}$ Dann berechnest du den Erwartungswert E(R) und die Varianz V(R) dieser diskreten Zufallsgröße R, und das dürfte doch bekannt sein. Hinweis: natürlich kannst du über alle 20 Stichprobennummern und deren jeweilige Raucheranzahl ( nicht: Mittelwerte ) gehen. Alle Wkts sind dann 1/20 ( Laplace ) Diese Tabelle lässt sich aber zur Obigen komprimieren.
22.01.2019, 23:20	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Stichproben Umfang n =3: $\begin{eqnarray} p_0 = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 20% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_1 = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 60% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_2 = 1-p_0-p_1 = 20% \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(R) = 0p_0 + 1p_1+2p_2 = 1 = \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(R) = p_0 (0 - \mu)^2+p_1 (1-\mu)^2+p_2 (2-\mu)^2 = p_0+p_2 = 0,8 \end{eqnarray*}$ Und das dann nochmal nur für n=5.
23.01.2019, 07:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
geht doch! 3 Tabellenwerte sind eben doch bequemer als deren 20. Falls der Umfang anwüchse, wäre die Hypergeometrische W-funktion ratsam. Beispiele: Trefferanzahl beim Lotto und extrem beim Keno https://de.wikipedia.org/wiki/Keno_(Gl%C3%BCcksspiel)
23.01.2019, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Kontrolle der Werte: Es liegt hier die Hypergeometrische Verteilung $\begin{eqnarray} R\sim HG(N;M;n) = HG(6;2;3) \end{eqnarray}$ vor mit den Charakteristiken $\begin{eqnarray} E(R) = n\frac{M}{N} = \frac{3\cdot 2}{6} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(R) = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} = 1\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5} = 0.4 \end{eqnarray}$ . Und siehe da, dein $\begin{eqnarray} p_0+p_2 \end{eqnarray}$ oben war noch richtig, aber dann hast du die falschen Werte eingesetzt. ------------------------ Bei n=5 kann man sich übrigens überlegen, dass alle ausgewählt werden bis auf einen. D.h., über die einfachere Betrachtung des einen nicht ausgewählten kommt man auch unmittelbar auf die Verteilung der 5 ausgewählten.
23.01.2019, 10:54	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »