Maximum einer Funktion auf dem Rand des Definitionsbereichs |
22.01.2019, 18:55 | freak_math6789 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Maximum einer Funktion auf dem Rand des Definitionsbereichs Ich sitze seit einiger Zeit an einer Aufgabe fest und hoffe, ihr könnt mir vielleicht ein paar Tipps geben. Die Funktion sei auf D zweimal stetig differenzierbar und auf dem Abschluss von D stetig. Weiter sei der Laplace-Operator der Funktion größer Null für alle (x,y) aus dem Defintionsbereich. Jezt soll gezeigt werden, dass f sein Maximum auf dem Rand von D annimmt. Bisher hatte ich darüber nachgedacht zu verwenden, dass die Summe der Diagonaleinträge der Hesse-Matrix, also gerade der Laplace-Operator, gleich der Summe der Eigenwerte ist. Kann ich damit vielleicht was über die Definitheit der Matrix sagen? Vielen Dank schon mal für jeden Tipp! Die FUnktion soll natürlich vom Abschluss von D (Teilmenge des R^2) in die reellen Zahlen abbilden. Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen |
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23.01.2019, 11:15 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Maximum einer Funktion auf dem Rand des Definitionsbereichs Die Behauptung ergibt sich durch Anwendung der allgemeinen Sätze über lokale Extrema von Funktionen mehrerer Veränderlicher auf eine Funktion . Es sei in einem Punkt und die Hessematrix von in diesem Punkt. Dann hat man als hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum in diesem Punkt die negative Definitheit von . Als notwendige Bedingung für ein lokales Maximum hat man die negative Semidefinitheit von . Bei einer Funktion ist genau dann negativ semidefinit, wenn gilt: und und (2) und (3) kann aber bei nicht gemeinsam erfüllt sein. Also hat kein lokales Maximum. Also liegt das Maximum auf dem Rand. |
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