Grenzwert einer Folge

23.01.2019, 14:37

Ulysses133

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Grenzwert einer Folge

Hallo liebe Forumer,

Ich übe gerade für meine Mathe I Klausur und habe bei folgender Aufgaben Schwierigkeiten

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} a_{n} := \frac{(n!)^2}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ gegeben. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_{n} \leq (\frac{1}{2}) ^{n} \end{eqnarray*}$ gilt und bestimmen Sie anschließend (mit Begründung!) den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu der Ungleichung habe ich bisher keine Idee.
Zum Grenzwert habe ich mir Folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \lim_{n \to \infty } \frac{(1 * 2 *3 * .... * n)^{2}}{1 * 2 * 3 *....* n * (n+1) * (n+2) *.... * 2n} = \lim_{n \to \infty } <br /> \frac{1 * 2 *3 * .... * n}{(n+1) * (n+2) *.... * 2n} = \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(n+1) * (n+2) *.... * 2n} = \lim_{n \to \infty } \ \frac{n!}{\frac{(2n)!}{n!} } = \lim_{n \to \infty } \ \frac{n!}{2} = \infty <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Denn, wenn ich keinen Denkfehler gemacht habe, müsste doch gelten:
$\begin{eqnarray*} <br /> (n+1) * (n+2) *...* 2n = \frac{(2n)!}{n!} = 2 * \frac{n!}{n!} = 2<br /> \end{eqnarray*}$
Oder liege ich damit völlig falsch?

Mir ist gerade selbst aufgelfallen, dass ich n! nicht einfach rauskürzen kann, so dass nur noch die 2 übrigbleibt. Ich hatte nämlich erstmal die Klammer um das 2n vergessen.
Dann habe ich aber tatsächlich keine Idee, wie ich da weitermachen kann.

Bin für jede Hilfe dankbar

23.01.2019, 14:57

Mathema

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Du könntest für den Grenzwert das Quotientenkriterium nutzen. Alternativ bietet sich bei Fakultäten auch immer Stirling an.

23.01.2019, 15:09

Ulysses133

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Aber das Quotientenkriterium gilt doch für Reihen verwirrt

verwirrt

Kann ich das auch einfach auf eine Folge anwenden?

23.01.2019, 15:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge
Zunächst solltest du ja das zeigen:

Zitat:

Original von Ulysses133
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_{n} \leq (\frac{1}{2}) ^{n} \end{eqnarray*}$ gilt

Beweise dazu erst mal, daß dieses gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{2n-k} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

23.01.2019, 15:16

Mathema

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Zitat:

Original von Ulysses133
Aber das Quotientenkriterium gilt doch für Reihen

Nun, wenn du mithilfe des Quotientenkriterium nachweisen kannst, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq0}a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, solltest du auch eine Aussage über den Grenzwert machen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber klarsoweit hat Recht, mache erstmal den ersten Teil der Aufgabe.

Wink

Wink

23.01.2019, 15:20

HAL 9000

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Anmerkung: Eine deutlich genauere Einschachtelung ist übrigens $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\pi n}}{2^{2n}} \leq \frac{n!^2}{(2n)!} \leq \frac{\sqrt{\pi \left(n+\frac{1}{2}\right)}}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ ,

im Umfeld des Wallisschen Produkts erzielbar.

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23.01.2019, 15:34

Ulysses133

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von klarsoweit
Zunächst solltest du ja das zeigen:

Zitat:

Original von Ulysses133
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_{n} \leq (\frac{1}{2}) ^{n} \end{eqnarray*}$ gilt

Beweise dazu erst mal, daß dieses gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{2n-k} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Per Induktion?

23.01.2019, 15:59

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge
Das geht ziemlich direkt. Du brauchst ja nur beide Seiten mit (2n-k) multiplizieren. smile

smile

23.01.2019, 16:12

Ulysses133

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Das führt bei mir irgendwie zu Nichts verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \frac{n-k}{2n-k} \leq \frac{1}{2}<br /> \frac{n-k}{2n-k} * (2n-k) \leq \frac{1}{2} * (2n-k) <br /> n-k \leq \frac{2n-k}{2} <br /> n-k \leq \frac{2(n-\frac{k}{2}) }{2} <br /> n-k \leq n-\frac{k}{2} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

23.01.2019, 16:40

HAL 9000

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Das ist kein Nichts, denn konsequent weiter äquivalent umgeformt ist man bei $\begin{eqnarray*} 0\leq k \end{eqnarray*}$ , einer zweifelsohne wahren Aussage.

Das geht übrigens viel schneller:

$\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{2n-k} &\leq& \frac{1}{2} \qquad \Bigg|\; \cdot 2(2n-k)>0\\ 2n-2k &\leq& 2n-k \qquad \Bigg|\; +2k-2n\\ 0 &\leq& k \end{eqnarray*}$

23.01.2019, 16:57

Ulysses133

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Stimmt - man, was ist heute mit mir los? -.-

Und was bringt mir das nun für meine Ungleichung?

23.01.2019, 17:11

Mathema

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Nun - die linke Seite deiner Ungleichung ist doch trivial. Außerdem hattest du doch schon umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{n!}{(n+1) \cdot \dots \cdot 2n} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+n} \end{eqnarray*}$

Nun schau dir doch mal die Faktoren an.

23.01.2019, 17:33

Ulysses133

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verwirrt

Vermutlich muss man jetzt auf $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{k+n} \leq \frac{n-k}{2n-k} \end{eqnarray*}$ hinaus

Dann muss ich nun mal grübeln, was ich da machen kann

23.01.2019, 17:44

Mathema

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Eigentlich musst du nur das Ergebnis hinschreiben. Du hast doch für $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{2n-k} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ gilt. Setze doch mal Werte für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} k=0:\quad \frac{n}{2n} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=1:\quad \frac{n-1}{2n-1} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=2:\quad \frac{n-2}{2n-2} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Und nun setze mal in $\begin{eqnarray*} \frac{k}{k+n} \end{eqnarray*}$ ein (wir fangen mal bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und gehen rückwärts):

$\begin{eqnarray*} k=n:\quad \frac{n}{n+n}=\frac{n}{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=n-1:\quad \frac{n-1}{n-1+n}=\frac{n-1}{2n-1} \end{eqnarray*}$

Merkst du was?

23.01.2019, 17:50

Ulysses133

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Ja, die einzelnen Glieder sind identisch

23.01.2019, 17:56

Mathema

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Na siehe da. Dann bist du ja fertig. Den Grenzwert bekommst du ja nun geschenkt.

smile

smile

23.01.2019, 18:22

Ulysses133

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Also kann ich einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{k+n} \leq \frac{n-k}{2n-k} \end{eqnarray*}$ ?

Dass der zweite Bruch kleiner gleich 1/2 ist, ist mir ja klar. Aber ich muss doch noch diese Ungleichung zeigen, oder nicht?
Oder ist es einfach ersichtlich dadurch, dass die Glieder identisch sind?

23.01.2019, 18:30

Mathema

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Ich weiß nicht wie du auf den Blödsinn kommst. Guck in Aufgabe was zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{n!}{(n+1) \cdot \dots \cdot 2n} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+n}\leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Und die rechte Seite gilt einfach, weil jeder deiner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren $\begin{eqnarray*} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ist (wie wir ja gezeigt haben).

23.01.2019, 18:36

Ulysses133

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Ich versteh aber noch immer nicht, warum das $\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{2n-k} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ dabei eine Rolle spielt verwirrt

verwirrt

Den Zusammenhang sehe ich einfach nicht.

Heute ist echt nicht mein Tag; danke für deine Geduld Freude

Freude

23.01.2019, 18:42

Mathema

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Das haben wir doch hier benutzt:

Zitat:

Original von Mathema
Eigentlich musst du nur das Ergebnis hinschreiben. Du hast doch für $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{2n-k} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ gilt. Setze doch mal Werte für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} k=0:\quad \frac{n}{2n} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=1:\quad \frac{n-1}{2n-1} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=2:\quad \frac{n-2}{2n-2} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Und nun setze mal in $\begin{eqnarray*} \frac{k}{k+n} \end{eqnarray*}$ ein (wir fangen mal bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und gehen rückwärts):

$\begin{eqnarray*} k=n:\quad \frac{n}{n+n}=\frac{n}{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=n-1:\quad \frac{n-1}{n-1+n}=\frac{n-1}{2n-1} \end{eqnarray*}$

Merkst du was?

Ausführlich:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{n!}{(n+1) \cdot \dots \cdot 2n} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+n}=\frac{n}{2n}\cdot\frac{n-1}{2n-1}\cdot...\cdot\frac{1}{1+n}\leq \underbrace{\frac{1}{2}\cdot...\cdot\frac{1}{2}}_{\text{n Faktoren}}= \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

23.01.2019, 18:49

Ulysses133

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Jetzt ist der Groschen gefallen Freude

Freude

Danke vielmals
Ich wäre nie auf die Idee gekommen, so an die Aufgabe ranzugehen geschockt

geschockt

23.01.2019, 18:58

HAL 9000

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Man kann auch "induktiv" $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ argumentieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!^2}{(2n)!} = \frac{n^2}{2n(2n-1)}\cdot \frac{(n-1)!^2}{(2(n-1))!} \stackrel{(IV)}{\leq} \frac{n}{2(2n-1)}\cdot \frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ ,

letzteres wegen $\begin{eqnarray*} n\leq 2n-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Dabei steht (IV) für Induktionsvoraussetzung.

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