Differentialgleichungen

23.01.2019, 18:31

jonnijoe

Differentialgleichungen

Meine Frage:
Bin im Kurs "Differentialgleichungen" von Martin Jung auf folgende Rechnung gestoßen, die ich nicht nachvollziehen kann.

ydy = xdx
1/2 y² = 1/2 x² + C
y² = x² + C
$\begin{eqnarray*} y(x) = \sqrt{x² + C} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} y(1) = \sqrt{1 + C} = 2 <br /> \Rightarrow C = 3 \end{eqnarray*}$

Wieso ist C von der multiplikation mit dem Faktor 2 nicht betroffen?

Meine Ideen:
...

23.01.2019, 22:26

Mulder

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RE: Differentialgleichungen
Nehmen wir mal stillschweigend an, wir bewegen uns in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, die jede beliebige reelle Zahl annehmen kann. Das bleibt auch so, wenn man $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ multipliziert oder dividiert oder was auch immer einem gerade in den Sinn kommt. Denn wenn $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ jede beliebige Zahl annehmen kann, kann $\begin{eqnarray*} 2C \end{eqnarray*}$ das auch. Das heißt, die Lösungsmenge bleibt die gleiche.

Wenn es dir lieber ist, kann man auch hingehen und diese Konstante explizit neu definieren, man setzt $\begin{eqnarray*} 2C:= \tilde C \end{eqnarray*}$ und befindet sich wieder in der gleichen Situation wie zuvor. Aber wenn man weiß, was man tut, kann man diesen Zwischenschritt wohl auch durchführen, ohne extra drauf hinweisen zu müssen. Im Grunde ist das halt klar.

24.01.2019, 10:58

HAL 9000

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Sauberer ist es natürlich schon, die Verschiedenheit der $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ deutlich anzuzeigen, also etwa

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2 = x^2 + C_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C_2:=2C_1 \end{eqnarray*}$

Aber diese Wunschvorstellung wird eben nicht immer erfüllt. Augenzwinkern

24.01.2019, 12:25

jonnijoe

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Okay vielen dank, dass habe ich auch vermutet bin allerdings dadurch am Ende auf einen anderen numerischen Wert gekommen. Ist nur seltsam zu sehen wie jeder (Daniel Jung, mein Mathe-Prof) diese Konstante umschreibt wie er will.

Mein Professor hat auch letztens ln(C) statt C geschrieben, einfach um die Gleichung vereinfachen zu können. Würde für mich mehr Sinn geben wenn man selbst die Konstante vorgibt, aber wenn Sie Ergebnis einer numerischen Rechnung ist leuchtet das ganze noch nicht komplett ein.

Bei meinem Bespiel habe ich dadurch ja jetzt ein anderes Ergebnis für C (1.5)

24.01.2019, 13:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von jonnijoe
Bei meinem Bespiel habe ich dadurch ja jetzt ein anderes Ergebnis für C (1.5)

Es interessiert ja letztendlich nicht das Ergebnis für ein (wie auch immer definiertes) $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , sondern nur die Ergebnisfunktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ . Und da solltest du aber dieselbe rauskriegen wie in der Musterlösung - das ist, was zählt!

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