ONB und orthogonales Komplement

24.01.2019, 15:20	Moritz4321	Auf diesen Beitrag antworten »
ONB und orthogonales Komplement Meine Frage: Hallo zusammen, ich möchte folgende Aufgabe lösen und bin auf der Suche nach jemandem, der meine Lösung bestätigen oder korrigieren möchte: Gegeben sind die Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1}= \begin{pmatrix} -1 \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2}= \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb C^{4} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} U=<v_{1},v_{2}> \end{eqnarray}$ ist der Unterraum dazu. Nun soll ich die ONB von $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ bzgl. des Standardskalarproduktes aufstellen. Meine Ideen: Das orthogonale Komplement bzgl. des Standardskalarproduktes habe ich bereits berechnet, indem ich ein LGS aufgestellt habe: So ist $\begin{eqnarray} U^{\perp}=\left\{ \begin{pmatrix} 2i \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray}$ Meine Probe war ok, sodass ich davon ausgehe, dass das orthogonale Komplement richtig sein sollte. Meine aufgestellte ONB mittels dem Gram-Schmidt-Verfahren ist nun folgende: Eine ONB von $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ ist die Basis $\begin{eqnarray} B_{U^{\perp}}= \left \{ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2i \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \frac{3}{\sqrt{14} } \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ \frac{5i}{9} \\ \frac{-2i}{9} \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray}$ Da hier im Komplexen gerechnet wird, bin ich mir ein wenig unsicher, ob ich hier alles richtig gemacht habe. Ich wäre euch daher sehr dankbar, wenn jemand dies mal bei Gelegenheit nachrechnen könnte und mir ein Feedback geben kann. Ich danke euch ! Viele Grüße Moritz Willkommen im Matheboard! Ich habe die Korrekturen aus dem zweiten Beitrag übernommen und diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen

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