Urnenaufgabe

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yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenaufgabe
Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

a) In einer Urne befinden sich 16Kugeln, nämlich je 4rote,gelbe,grüne und blaue Kugeln. Es wird 8mal mit Zurücklegen gezogen. (Jeweils eine Kugel)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den gezogenen Kugeln jede der vier Farben mindestens einmal vorkommt.

b) Es wird erneut 8mal ohne Zurücklegen gezogen. Berechne auch hier die Wahrscheinlichkeit.


Meine Idee:

a) Sowohl die a) als auch b) könnte ich mittels Laplace lösen indem ich die unterschiedlichen Fälle durchspiele und die Wahrscheinlichkeiten addiere. Ich denke das müsste bei der a) allerdings auch mit Bernoulli funktionieren. Meine Idee dazu ist die Folgende:

R=Rot, G=Gelb, Grün=Gr und B=Blau.







Dieses nun mittels Bernoulli ausrechnen. Kann ich das so machen?

Viele Grüße Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

a.) das sind doch "und" Bedingungen, dann müssten die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden, sofern die Ereignisse unabhängig wären, was sie aber nicht sind.

Eine Näherungsformel mit M=4 Farben von N=4 Farben zu ziehen bei n=8 Versuchen, und dass jede Farbe mindestens einmal gezogen wird ist



der genaue Wert ist
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dopap, die Formel sagt mir jetzt erstmal nix. Das heißt also, ich müsste es mittels Laplace berechnen indem ich alle Fälle durchspiele? Mit der Bernoulli Formel und mittels hypergeometrischer Verteilung scheint es ja nicht zu gehen.

Viele Grüße smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Zauberwort ist Siebformel: Die Wahrscheinlichkeit, bei Versuchen alle (gleich oft vorkommenden) Farben jeweils mindestens einmal zu ziehen, ist bei Anwendung dieser Formel

,

Dopap hat ja schon Wert genannt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

b.) ohne Zurücklegen

da sind mir die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ereignisse zu unübersichtlich.

Zum Trost der Wert bei einer Simulation mit 60000 Versuchen auf meinem betagten Taschenrechner



edit: zu klein, das muss noch mal überprüft werden! siehe unten
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

b) geht eigentlich ganz ähnlich, wieder mit Siebformel: D.h., -mal Ziehen ohne Zurücklegen aus Farben, von denen jede genau -mal vertreten ist (d.h. insgesamt Kugeln).



Ergebnis für die Daten hier ist .

Der deutlich höhere Wert als in a) ist durchaus plausibel: Mit 8 Versuchen kann man z.B. komplette zwei Farben abräumen, da ist es plausibel, dass man mit 8 Versuchen fast sicher mindestens 3 Farben erwischt, und hochwahrscheinlich sogar alle 4. Für ist übrigens ja klar, dass sein muss, und das ergibt auch die obige Formel.


@Dopap

Kontrolliere mal deine Simulation, ich bin mir bei dem Ergebnis (*) ziemlich sicher. Wenn ich mal ein 5Sigma-Intervall ansetze, dann sollte eine Simulation mit 60000 Läufen dieses 5Sigma-Intervall nur mit einer Wahrscheinlichkeit von verfehlen.

Deine Genauigkeitsangabe ist überhaupt sehr optimistisch: Bei einer derartigen Bernoulli-Simulation einer unbekannten Wahrscheinlichkeit und Versuchsanzahl ist das Simulationsergebnis näherungsweise normalverteilt , d.h. ist die Standardabweichung. In deinem Fall und ergibt das , und wenn man einigermaßen sicher gehen will, gibt man ja nicht ein - sondern eher so ein -Intervall an, das wäre dann gewesen. Augenzwinkern
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL: einverstanden, so geht es richtig Freude

1.) mein "Intervall" ist einfach beim "Zuschauen" der Entwicklung von entstanden, also nur so auf gut Glück.
Ich befürchte nur, dass deine letzte Formel den Rahmen der Schulmathe knapp verfehlt hat.

2.) der logische Programmierfehler ist gefunden. Es waren Ziehungen mit Zurücklegen aber mit dem Limit von 4 Kugeln je Farbe.
Deshalb die leichte Steigerung Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hatte ich mir fast gedacht: D.h., die Kugeln aller Farben kamen mit vollen 1/4 Wahrscheinlichkeit in die Ziehung, sofern bisher weniger als 4 in der Auswahl waren. Das stimmt natürlich nicht mit dem Wahrscheinlichkeitsmodell "Ziehen ohne Zurücklegen" überein, denn bei dem vermindert sich die Ziehungswahrscheinlichkeit ja auch schon bei weniger gezogenen Kugeln dieses Typs. Augenzwinkern


Ich habe das auch mal simuliert, mit Versuchen auf einem weniger betagten PC, das ergibt Schätzung mit Standardabweichung (Simulationsdauer 4.5 Sekunden).
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mein Taschenrechner braucht für 60.000 Durchgänge 45000 s = halber Tag

Als Emulator auf dem Laptop sagenhafte 720 s = 12min smile

immer noch als Interpreter. Theoretisch könnte man das in Assembler konvertieren - so wie die eingebundenen Bibliotheken - nur bin ich da nie richtig dahinter gestiegen.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000, der Teil a) ist mir klar. Ich habe allerdings noch eine Frage zu dem Aufgabenteil b).

Mein Vorgehen:

Ich habe mir erstmal die Ereignisse definiert:

=Jede Farbe wird mindestens einmal gezogen
=Mindestens eine Farbe wird nicht gezogen
=Rot wird nicht gezogen
= Gelb wird nicht gezogen
=Grün wird nicht gezogen
= Blau wird nicht gezogen

Nun klappt es nicht so einfach die Wahrscheinlichkeiten mittels Multiplikation oder Bernoulli zu bestimmen. Deshalb muss man hier wohl mittels hypergeometrischer Formel rechnen.











Dann komme ich auf:

Wo liegt denn hier mein Fehler begraben?

Viele Grüße smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll der Term ? Die Stelle, wo du ihn platziert hast, stünde eigentlich für die Dreierdurchschnitte. Aber die sind hier sämtlich Null, denn wie soll das gehen, drei Farben nie gezogen bei 8 entnommenen Kugeln. unglücklich

Wenn schon, dann .
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich setze mich nochmal dahinter.

Vielen Dank und schöne Grüße smile
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