Fourierkoeffizienten von rationaler periodischer Funktion

25.01.2019, 01:39	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierkoeffizienten von rationaler periodischer Funktion Hallo, ich beschäftige mich gerade damit, die Fourierkoeffizienten bzw. die Fourierreihenentwicklung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{e^{i x} - p}, x \in \mathbb{R}, \|p\| < 1 \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Da f(x) stetig und 2pi-periodisch ist, müsste die Fourierreihe existieren. Die Formel für die komplexen Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ bringen mich auf: $\begin{eqnarray} c_k = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{-i x k }} {e^{i x} - p} dx \end{eqnarray}$ . Zum Lösen dieses Integrals hatte ich zunächst gehofft, der Cauchy-Integralsatz könnte mir helfen, d.h. ich interpretiere das Integral als komplexes Kurvenintegral, dass ich auf dem Einheitskreis auswerte, was sich dann schreibt als $\begin{eqnarray} i c_k = i K_k(p) = \frac{1}{2 \pi} \oint \frac{z^{-k-1}}{z - p} dz \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K_k(z) = z^{-k-1} \end{eqnarray}$ . Wenn ich diese c_k dann hinschreibe, erhalte ich leider eine Lösung bei der die Fourierreihe nicht konvergiert, da die c_k einseitig gegen unendlich gehen. Ich habe bemerkt, dass eine Voraussetzung des Cauchy-Integralsatzes leider nicht gegeben ist, denn die abgeschlossene Einheitskreisscheibe ist nicht vollständig im Definitionsgebiet von K_k(z) für k >= 0 enthalten, da dann K_k(z) für z = 0 nicht definiert ist. Ist mein Ansatz sinnvoll und kann man ihn retten? Falls nein, wie kann ich die Koeffizienten ausrechnen? Danke für jede Hilfe
25.01.2019, 02:19	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine andere Idee: $\begin{eqnarray} 1 = \frac{e^{i x} - p}{e^{i x} - p} = (e^{i x} - p) \sum_{k={-\infty}}^{\infty} c_k e^{i x k} \end{eqnarray}$ Dann erhält man durch Koeffizientenvergleich bzw. Orthogonalität (die Fourierreihe müsste gleichmäßig konvergieren, d.h. ich darf das) Gleichungen für den Zusammenhang der Koeffizienten: $\begin{eqnarray} c_k = p c_{k-1}, k \geq -1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_{-1} = 1 + p c_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{k+1} = p c_k, k \leq -2 \end{eqnarray}$ . Wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte konvergiert die dann erhaltene Fourierreihe. c0 kann man dann z.B. für x = 0 ausrechnen. Allerdings würde ich eigentlich komplexe Koeffizienten erwarten, mich dünkt hier stimmt auch was nicht.
25.01.2019, 02:36	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigt den Trippelpost, es lässt mich nicht los: Mir ist gerade aufgefallen, dass durch simples rausziehen die naheliegende geo.-Reihe ja doch konvergier: 1/(e^(i x) - p) = e^(-i x) * (1 + e^(i x) p + e^(i x) p^2 + ...) Das müsste für \|p\| < 1 passen.
25.01.2019, 08:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtige Grundidee, aber nicht korrekt ausgeführt. Was du womöglich meinst ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^{ix}-p} = \frac{e^{-ix}}{1-pe^{-ix}} = e^{-ix} \sum_{k=0}^{\infty} p^k e^{-ikx} = \sum_{k=1}^{\infty} p^{k-1} e^{-ikx} \end{eqnarray}$ .

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