Warum funktioniert das Majorantenkriterium hier nicht?

25.01.2019, 16:34	snax	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum funktioniert das Majorantenkriterium hier nicht? Meine Frage: Hallo, ich habe zwei Folgen. F1: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1-n}{n^2} \end{eqnarray}$ F2: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2+\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Idee zu F1 wäre einfach: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1-n}{n^2} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ Daher würde ich nach dem Majorantenkriterium sagen, dass die Reihe Konvergent ist. Denn der Zähler wird durch die Ungleichung größer, dadurch auch der Bruch größer. Allerdings ist diese Reihe divergent. Ich habe die Lösung für diese Reihe hier (Minus raussziehen, Indexverschiebung, <= 1/n setzen), doch meine Frage ist warum das Majorantenkrierium hier falsch ist. Meine Idee zu F2: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2+\sqrt{n} } \leq<br /> \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2 } \end{eqnarray}$ Da der Nenner kleiner wird, und dadurch der Bruch größer gilt das ganze.
25.01.2019, 17:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Majorante zu $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray}$ ist eine Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a_n\|\leq b_n \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Du hast die Beträge vergessen. Würden die Beträge nicht da stehen, wäre jede Reihe mit negativen Summanden absolut konvergent, weil man ja die konvergente Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty 0 \end{eqnarray}$ als Majorante nehmen könnte. Und das kann offensichtlich nicht richtig sein.
25.01.2019, 17:24	snax	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh, vielen Dank!!!

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