Lösung einer (linearen homogenen?) DGL 4. Ordnung

25.01.2019, 21:33

Deglen

Lösung einer (linearen homogenen?) DGL 4. Ordnung

Hallo zusammen,

ich bin Ingenieurstudent und fast durch mit meinem Studium. Soll heißen: Grundlagen Mathematik aus den ersten beiden Semestern liegen schon einige Zeit zurück und vieles wurde ewig nicht gebraucht und somit vergessen.

Nun möchte ich aber gerne eine Herleitung nachvollziehen und scheitere kläglich an einer DGL, die ich wahrscheinlich früher ohne große Probleme hätte lösen können.
Das Objekt der Begierde lautet:

$\begin{eqnarray*} w''''+\lambda^2\cdot w''=0 \end{eqnarray*}$

Erstmal nichts wildes. Nun wird als LösungsANSATZ angegeben:
$\begin{eqnarray*} w(x)=C_1+\lambda C_2 x +C_3 cos(\lambda x)+C_4 sin(\lambda x) \end{eqnarray*}$

Mir ist absolut nicht klar, wie man auf diesen Lösungsansatz kommt. Nach einem Blick in meine Formelsammlung, würde ich die DGL oben als lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten einordnen. Ist das korrekt?

Demnach gäbe es wohl die Möglichkeit das ganze in ein charakteristisches Polynom zu überführen und die Nullstellen auszurechnen. Habe ich so versucht und bekomme dann die triviale Lösung w=0 raus oder meine Lösung käme aus dem komplexen Zahlenraum. Stimmt also nicht mit der bekannten Lösung überein.
Ich konnte auch bisher keine Lösungsansätze in meinen Mathebüchern finden, die mit sin und cos arbeiten, ohne dass die Exponentialfunktion irgendwie involviert ist.

Ich versuche mich wieder in das Thema einzuarbeiten, aber momentan stehe ich wie der Ochse vorm Berg. Falls mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, wäre ich sehr dankbar! Wahrscheinlich würde mir schon die korrekte Bezeichnung der DGL helfen, damit ich weiß unter welchem Begriff ich suchen muss... verwirrt

25.01.2019, 22:08

klauss

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RE: Lösung einer (linearen homogenen?) DGL 4. Ordnung
In Stichpunkten:

Zitat:

Nun wird als LösungsANSATZ angegeben:

Ich wage zu bezweifeln, dass es sich dabei tatsächlich um einen Ansatz handeln soll. Vielmehr ist das schon die allgemeine Lösung (wobei das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ nicht hingehört).

Zitat:

lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten einordnen. Ist das korrekt?

Ja.

Zitat:

Demnach gäbe es wohl die Möglichkeit das ganze in ein charakteristisches Polynom zu überführen und die Nullstellen auszurechnen.

Auch korrekt. Nur müssen sämtliche Nullstellen (reell oder komplex) mit ihrer Vielfachheit berücksichtigt werden. Dann erhält man 4 Basis-Exponentialfunktionen.

Zitat:

Ich konnte auch bisher keine Lösungsansätze in meinen Mathebüchern finden, die mit sin und cos arbeiten, ohne dass die Exponentialfunktion irgendwie involviert ist.

Die Exponentialfunktion ist bei sin und cos sehr wohl involviert - Stichwort Euler'sche Formel.
In Mathebüchern stehen für solche Fälle (komplexe Nullstellen des char. Pol.) gern Kochrezepte, wie man dann auf den entsprechenden sin-/cos-Term kommt. Ich persönlich bevorzuge den einleuchtenderen Weg über komplexe Linearkombinationen der Exponentialfunktion, die auch die DGL lösen.

26.01.2019, 12:49

Deglen

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Vor allem beim Stichwort Eulersche Formel klingelte wieder was. Hab mir nochmal die Basics der komplexen Zahlen angeschaut. Hatte ursprünglich komplexe Lösungen "einfach" ausgeschlossen, weil ich dachte, dass die nicht infrage kommen bei einem realen Problem. Die Funktion beschreibt die Biegelinie eines Stabes und ich war der Meinung, dass dann komplexe Zahlen wohl nicht infrage kommen. Offenbar lag ich falsch.

Also, wenn ich das ganze als

$\begin{eqnarray*} k^4+\lambda^2 \cdot k^2=k^2 \cdot (k^2+\lambda^2)=0 \end{eqnarray*}$

schreibe, kann ich die 0 schonmal als doppelte reelle Nullstelle identifizieren.

Damit komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \cdot e^0=x \end{eqnarray*}$ . Schonmal zwei Funktionen des Fundamentalsystems. Mein Problem hier: In der vorgegebenen Lösung wird das x noch mit Lambda multipliziert. Es erschließt sich mir nicht so wirklich, wo das Lambda in diesem Fall herkommt. Meine Formelsammlung sagt mir für p-fache Nullstellen für die erste: $\begin{eqnarray*} e^{\eta_k \cdot x} \end{eqnarray*}$ und die zweite $\begin{eqnarray*} x \cdot e^{\eta_k \cdot x} \end{eqnarray*}$ . Die Nullstellen eta sind in beiden Fällen Null und damit erhalte ich aus der Expontentialfunktion den Wert 1.

Die anderen Nullstellen ergeben sich aus
$\begin{eqnarray*} k^2 = -\lambda^2 \end{eqnarray*}$ , was sich als $\begin{eqnarray*} k=\sqrt{-\lambda^2} \end{eqnarray*}$ schreiben lässt. Ich erhalte dann, wenn ich mich nicht irre, $\begin{eqnarray*} k=|i \cdot \lambda| \end{eqnarray*}$ und damit ein konjugiert komplexes Zahlenpaar ohne Realteil.

Die Funktionen für die Lösung müssten dann $\begin{eqnarray*} e^{0\cdot x}\cdot (sin(\lambda x) +cos(\lambda x)) \end{eqnarray*}$ sein. Damit komme ich dann auf den Rest des Lösungsansatzes.

Falls ich mir hier jetzt nichts falsches ins Richtige gerechnet habe, muss ich nur noch verstehen, wieso vor dem $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ noch ein Lambda steht. Noch ein Tipp wäre sehr willkommen! Wink

26.01.2019, 14:37

klauss

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Zitat:

Die anderen Nullstellen ergeben sich aus
$\begin{eqnarray*} k^2 = -\lambda^2 \end{eqnarray*}$ , was sich als $\begin{eqnarray*} k=\sqrt{-\lambda^2} \end{eqnarray*}$ schreiben lässt. Ich erhalte dann, wenn ich mich nicht irre, $\begin{eqnarray*} k=|i \cdot \lambda| \end{eqnarray*}$ und damit ein konjugiert komplexes Zahlenpaar ohne Realteil.

Da hier noch 2 Nullstellen drinstecken, sehe ich das als
$\begin{eqnarray*} k =\sqrt{(-1)\lambda ^{2} } =\pm i\lambda \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Funktionen für die Lösung müssten dann $\begin{eqnarray*} e^{0\cdot x}\cdot (sin(\lambda x) +cos(\lambda x)) \end{eqnarray*}$ sein. Damit komme ich dann auf den Rest des Lösungsansatzes.

Das stammt dann wahrscheinlich aus so einem "Kochrezept". Man kommt aber auch drauf über passende
$\begin{eqnarray*} \alpha e^{i\lambda x} +\beta e^{-i\lambda x} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ kann ich nicht erklären. Scheint mir überflüssig, da $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ ohnehin alle reellen Zahlen annehmen kann.

26.01.2019, 17:05

Deglen

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Zitat:

Original von klauss
Da hier noch 2 Nullstellen drinstecken, sehe ich das als
$\begin{eqnarray*} k =\sqrt{(-1)\lambda ^{2} } =\pm i\lambda \end{eqnarray*}$

Mag sein, dass ich mich nicht mathematisch korrekt ausgedrückt habe. Big Laugh

Habe den Betrag so wie du aufgelöst. Also beide möglichen Vorzeichen in Betracht gezogen und bin so im Grunde auf den Lösungsansatz wie im Ursprungspost gekommen, bis auf das noch unklare Lambda. Denke, dass das Vorgehen das gleiche ist wie bei dir?! verwirrt

Zitat:

Original von klauss
Man kommt aber auch drauf über passende
$\begin{eqnarray*} \alpha e^{i\lambda x} +\beta e^{-i\lambda x} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ kann ich nicht erklären. Scheint mir überflüssig, da $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ ohnehin alle reellen Zahlen annehmen kann.

Werde ich mir nochmal genauer anschauen müssen. Fürs erste reicht mir die Rezeptlösung (Schande über mich). Big Laugh

Unglaublich, wie viel man vergessen kann... geschockt

Aber du hast mir wirklich super weitergeholfen. Ich danke dir vielmals!

Das mit dem Lambda versuche ich mal beim Professor zu erfragen. Auch, wenn es nicht relevant ist, wie du sagst. Anhand der Randbedingungen erhält man sowieso für C2=0. Aber nichtsdestotrotz stört es mich gerade irgendwie, wenn ich nicht weiß, warum es da steht.

28.01.2019, 08:50

klarsoweit

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RE: Lösung einer (linearen homogenen?) DGL 4. Ordnung

Zitat:

Original von Deglen
Das Objekt der Begierde lautet:

$\begin{eqnarray*} w''''+\lambda^2\cdot w''=0 \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution u = w'' wäre zunächst nur die bekannte DGL $\begin{eqnarray*} u'' + \lambda^2\cdot u=0 \end{eqnarray*}$ zu lösen. smile

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