Differentialgleichung

26.01.2019, 01:19

dgler

Differentialgleichung

Meine Frage:
Hey. Wie kann ich die DGL lösen:

$\begin{eqnarray*} r'(x)=\frac{1}{r(x)} +\frac{cos(u1)}{1+r(x)*cos(u1)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
weiß leider nicht. Probiere seit stunden

26.01.2019, 15:04

Mathema

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Hast du es einfach mal mit Trennung der Variablen versucht?

26.01.2019, 15:07

Dgler

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Ja habe ich versucht kriege ich aber leider nicht hin verwirrt

26.01.2019, 15:08

Mathema

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Wie lautet denn die DGL nach der Trennung?

26.01.2019, 15:11

Dgler

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Ich kriege due trennung nicht hin. Beim 2 Term im nenner liegt das Problem

26.01.2019, 15:18

Mathema

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Schreibe die rechte Seite doch erstmal als ein Bruch.

26.01.2019, 15:27

dgler

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RE: DgL
$\begin{eqnarray*} r'(x)=\frac{1}{r(x)} +\frac{cos(u1)}{1+r(x)*cos(u1)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1+r(x)*cos(u1)}{r(x)(1+r(x)*cos(u1))} +\frac{r(x)cos(u1)}{r(x)(1+r(x)*cos(u1))} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1+2r(x)cos(u1)}{r(x)(1+r(x)*cos(u1))} \end{eqnarray*}$

und jetzt verwirrt

26.01.2019, 15:33

Mathema

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Nun ist also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd r}{\dd x}=\frac{1+2r\cos(u_1)}{r(1+r\cos(u_1))} \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{r(1+r\cos(u_1))}{1+2r\cos(u_1)}\,\dd r=\int 1\, \dd x \end{eqnarray*}$

26.01.2019, 15:37

dgler

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aber die variablen sind doch überhaupt nicht getrennt verwirrt

26.01.2019, 15:39

Mathema

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Natürlich sind sie das.

26.01.2019, 15:48

dgler

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ah ja stimmt.

Ich kriege mit dem Rechner

$\begin{eqnarray*} \frac{-ln(|2cos(u1)r+1|)-2cos(u1)*r(cos(u1)*r+1)}{8*cos(u1)^2}+c=x +a \end{eqnarray*}$

a und c sind koeffizienten.

Wie gehts nun weiter?

26.01.2019, 15:50

dgler

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achso und r>0 kann ich dann die Beträge weglassen?

26.01.2019, 16:04

Mathema

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

a und c sind koeffizienten.

Koeffizienten? Meinst du vll Konstanten? Die kannst du natürlich noch zusammenfassen.

Zitat:

Wie gehts nun weiter?

Naja - nun hast du zumindest eine implizite Lösung für deine DGL. Ob du das nun nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ aufgelöst bekommst - sehe ich gerade nicht. Wenn dann wohl mit LambertW.

26.01.2019, 16:09

dgler

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u ist eine variable und geht von 0 bis 2Pi.

Wie geht das mit LambertW habe noch nie davon gehört.

Geht das vllt auch mit Mathematica?

26.01.2019, 16:16

dgler

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was nun :/

26.01.2019, 17:37

dgler

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sagst du nichts mehr traurig

26.01.2019, 20:12

Mathema

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Was willst du denn noch von mir hören? Und was spricht überhaupt gegen eine implizite Lösung?

26.01.2019, 20:58

Dgler

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r(x) ist ein Radius. Ich möchte wissen wie der Radius definiert ist und für welche x.

Kann man die Gleichung nicht irgendwie nach r lösen?

26.01.2019, 21:20

mYthos

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Nachdem diese Differentialgleichung interessant für mich war, habe ich mich näher damit beschäftigt.
Die meisten CAS und auch WolframAlpha können diese offensichtlich nicht vollständig auflösen.
Das liegt daran, dass eine explizite Lösung algebraisch nicht angegeben werden kann.

Ein CAS kann aber dennoch gute Hilfe leisten, wenn man selbst ein wenig Hand anlegt. Denn dann kann man sich zur impliziten Lösung ganz gut hinarbeiten;
das auftretende Integral lässt sich natürlich damit lösen.

Ich habe gesetzt: $\begin{eqnarray*} \cos(u_1) = a; \ r(x) = y \end{eqnarray*}$ , dann lautet die Diffgl.:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac 1 y + \frac a {1 + ay} \end{eqnarray*}$

Wie schon erwähnt, die Trennung der Variablen funktioniert, auch das Integral existiert algebraisch und so kommt man zumindest zu einer impliziten Funktion.
Es ist nicht schlecht, diese Rechnung zunächst teilweise selbst durchzuführen, für den Graphen und die Eigenschaften der Lösungsfunktion setzt man natürlich wieder ein CAS ein.

Nachdem dein (implizites) Ergebnis nicht richtig erscheint (es sind zwei Fehler darin), sehen wir uns das weiter an:

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' \cdot y (1+ay)=1+2ay \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y+ay^2}{1+2ay} \dd y = \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Integr.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\ln |2ay+1| + 2ay(ay+1) = 8a^2x + \ln c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{blue}2ay(ay+1)-\ln |c(2ay+1)| = 8a^2x \end{eqnarray*}$

Die Variable und Konstante können zum Schluss natürlich wieder rückbenannt werden.

Für den Graphen und die Probe wurde GeoGebra eingesetzt. Im Graphen ist $\begin{eqnarray*} a = \cos u_1 = 0.8 \end{eqnarray*}$ , die Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} c = 1 \end{eqnarray*}$
(c hat nur eine verhälnismäßig kleine Parallelverschiebung längs der x-Achse zur Folge)

Wie oft bei impliziten Funktionen ist es von Vorteil, zur Berechnung der Ableitungen oder besonderer Punkte eine Parameterdarstellung zu erstellen.

[attach]48818[/attach]

mY+

26.01.2019, 22:21

dgler

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Jetzt ohne irgendwie zu schleimen oder so: ICH bin begeistert geschockt

Also geht r gegen unendlich wie es aussieht.

Wie hast du das mit geogebra gemacht? Ich kannte bis heute das Programm nicht.
Kannst du mir vllt dein Code zeigen?

26.01.2019, 22:59

dgler

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wie hast du die Parameterkurve eingegeben?

26.01.2019, 23:36

mYthos

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GeoGebra ist kostenfrei erhältlich und auch als Freeware zu verwenden. Es gibt es in den Versionen 5 und 6, Vers 5 ist m. E. besser. Das fertige Arbeitsblatt wird in einer *.GGB - Datei gespeichert.
Es läuft auf nahezu allen Plattformen.
Der "Code", den du meinst, muss nicht von vornherein erstellt werden, er besteht am Ende aus der Arbeitsgangfolge ("Konstruktionsgang") , den Elementen, Objekten und den zwischen ihnen erklärten Verknüpfungen.

--> https://de.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

Ich hänge jetzt hier das entsprechende GGB-File (in einem ZIP-Archiv) an.
Darin kommt besonders eindrucksvoll die Stärke von GeoGebra zu Geltung, womit mittels Schieberegler die Werte von Parametern variiert und die dadurch bewirkten Veränderungen dynamisch betrachtet werden können.
Installiere das Programm und lade die extrahierte GGB-Datei ...
Natürlich wirst du um eine gewisse Einarbeitung in das Programm nicht herumkommen, willst du es erkunden und öfters nützen.

[attach]48820[/attach]

Gr mY+

26.01.2019, 23:39

mYthos

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Zitat:

Original von dgler
wie hast du die Parameterkurve eingegeben?

Kurve((2a*t*(a*t + 1) - ln(c*(2a*t + 1))) / (8a^2), t, t, 0, 16)

mY+

26.01.2019, 23:50

dgler

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Ich bin wirklich begeistert geschockt

Vielen dank habs runtergeladen.
Ich werde mich jetzt damit näher beschäftigen macht voll Spaß Big Laugh

26.01.2019, 23:51

mYthos

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Ja, mir auch. Man sieht da schön den Lohn der Arbeit .. Big Laugh

mY+

27.01.2019, 00:26

Finn_

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Eine symbolische Lösung der vorgelegten Dgl. lässt sich mittels Lambert-W-Funktion als geschlossener Ausdruck angeben.

Tipp: Die Substitution $\begin{eqnarray*} q=2ay+1 \end{eqnarray*}$ eliminiert den linearen Term der quadratischen Funktion $\begin{eqnarray*} 2ay(ay+1) \end{eqnarray*}$ , womit sich die Gleichung in die Form
$\begin{eqnarray*} -q^2 \mathrm e^{-q^2} = \mathrm{Term}(x,a,c) \end{eqnarray*}$
bringen lässt.

27.01.2019, 02:01

Dgler

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@mYthos: Eine Frage für was hast du die Tangente gezeichnet ? Ist die in der Dgl bzw. in der Lösung wichtig?

27.01.2019, 13:26

mYthos

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In Geogebra existiert die Lambert-W - Funktion nicht als schon vorgegeben, also erstellt man sie sich (in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) kurz selbst einmal.
Es gelingt wieder gut über die Parameterdarstellung, denn hierbei ist die inverse Funktion einfach mittels Vertauschung der Terme in der Parameterform, die den Variablen x, y der Funktion $\begin{eqnarray*} y=x \cdot e^x \end{eqnarray*}$ zugeordnet sind, zu realisieren.

Deren Ähnlichkeit mit der eingangs berechneten Lösungskurve der DiffGleichung ist natürlich NICHT zufällig. Big Laugh

Im Prinzip wurde dort ebenso (verdeckt) mit der Lambert-W - Funktion gerechnet.
Denoch kann die W - Funktion nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden - jedoch in Parameterform - , wohl aber deren Umkehrfunktion.
Die symbolische Lösung mittels der von Finn dargelegten Substitution ist natürlich elegant.

[attach]48826[/attach]

Die Tangente selbst ist nur eine Draufgabe, weil ja - wegen der Probe - auch die Steigung zu berechnen war. Ohne die Probe ist das natürlich für die Aufgabe nicht nötig.

Ich hänge des Interesses halber auch noch die Lambert-W - Funktion als GGB an.
Damit sind deren (reelle) Funktionswerte bequem zu ermitteln.

[attach]48827[/attach]

mY+

28.01.2019, 14:28

Moisymaia

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Zitat:

Original von mYthos

...

$\begin{eqnarray*} -\ln |2ay+1| + 2ay(ay+1) = 8a^2x + \ln c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{blue}2ay(ay+1)-\ln |c(2ay+1)| = 8a^2x \end{eqnarray*}$

Die Variable und Konstante können zum Schluss natürlich wieder rückbenannt werden.

Guten Tag ich habe das mal alles mit verfolgt und frage mich von wo ln(c) kommt?

Wenn wir auf der linken Seite eine Konstante c1 haben und auf der Rechten Seite eine Konstante c2 ergibt dies zunächst einmal c2-c1=c3. Daraufhin wird 8a^2 dazu multipliziert und da steht dann 8a^2*c3=c4.

Oder setzt du c=e^(c4) dann ist nämlich ln(c) =c4 ?

28.01.2019, 14:48

mYthos

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Genau Letzteres.
Anstatt $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ wird oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) $\begin{eqnarray*} \ln c_2 \end{eqnarray*}$ gesetzt.
Dann wird die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} 8a^2 \end{eqnarray*}$ multipliziert und $\begin{eqnarray*} 8a^2 \ln c_2 \end{eqnarray*}$ schließlich durch $\begin{eqnarray*} \ln c \end{eqnarray*}$ ersetzt.

mY+

28.01.2019, 18:55

dgler

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Weiss du vll wie ich mit Geogebra eine Wertetabelle für den Graphen bekommen kann ?
Wollte mal eine übersicht der Werte haben.

29.01.2019, 02:35

mYthos

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Das geht ebenfalls recht gut, denn das Programm besitzt auch ein relativ starkes Tabellentool.
Dieses ist deutlich an Excel angelehnt, wenngleich es an dessen Fähigkeiten und Bedienbarkeit nur rudimentär herankommt. Diesen Anspruch erhebt allerdings das Programm von Vornherein gar nicht.
Dennoch sind Excel-Grundkenntnisse durchaus von Vorteil.

[attach]48836[/attach]

In der rechten Kalkulations-Tabelle sind die x- und y-Werte bzw. die vollständigen Punkte in Abhängigkeit von dem Parameter t berechnet.
Hieraus lassen sich dann von jedem beliebigen Ausschnitt (mittels des Kontext-Menüs "Erzeugen") sowohl Wertetabellen (als Text) als auch Punktlisten (Punktreihe) generieren.

Der offset_t - Regler bestimmt den Abstand der t-Werte (y) in der Tabelle.

Die GGB-Datei ist hier wieder als ZIP-Archiv angehängt.

[attach]48837[/attach]
mY+

29.01.2019, 10:27

Dgler

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Danke mYthos für die Bemühungen. Ich muss sagen Geogebra begeistert mich immer mehr und mehr Big Laugh

01.02.2019, 13:55

Dgler

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Hey Mythos,

eine Frage zu Geogebra. Wie kann ich die Achsen anders beschriften?
Bsp: Aus der y achse eine f(x) Achse?

01.02.2019, 20:00

mYthos

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Wenn's nur um die Beschriftung geht, kein Problem.
Die Funktionalität der Achsen wird sich dabei allerdings nicht im Geringsten ändern, das muss dir klar sein.

[attach]48855[/attach] [attach]48857[/attach]

Nachdem du den Text in das Fenster geschrieben hast, das Fenster schließen und über die Eigenschaften die Textattribute (Art, Größe, Farbe) einstellen.

Im Gegensatz zu der normalen Beschriftung, die wenig Positionierung und Änderungen zulässt, ist die Textbox frei verschiebbar und auch vielfältiger zu gestalten.

mY+

01.02.2019, 20:21

dgler

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Achso also kann ich zum Beispiel keine Funktion definieren die von der Zeit t abhängt und Beispielsweise f heißt ? verwirrt

Das ist aber Schade, also muss ich immer subs. in x und y.
Trotzdem Danke smile

01.02.2019, 22:00

mYthos

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Doch, das kannst du schon, aber dazu musst du die Achsen ja nicht umbenennen.
Definiere im Algebrafenster einfach die Funktion, z. B.:

f(t)=3t - 5t^2

Du kannst sie genau so (in der Eingabezeile) eingeben.

[attach]48859[/attach]

mY+

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