Mit gemeinsamer Dichte eine Wahrscheinlichkeit berechnen

26.01.2019, 18:56

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Mit gemeinsamer Dichte eine Wahrscheinlichkeit berechnen

Seien $\begin{eqnarray*} T_x, T_y \end{eqnarray*}$ zwei Zufallsvariablen, die die restlichen Lebenszeiten von 2 Personen mit Alter $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beschreiben. Die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} T_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_y \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f_{T_x,T_y}(s,t)=\begin{cases}\frac{2}{45}\cdot20^{-4}\cdot\Big(9 \cdot 20^2-(3s-t)^2\Big)&,s \in [0,20], t\in[0,60]\\0&, \mathrm{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich damit die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Person mit Alter $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vor der Person mit Alter $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stirbt?

Leider hatte ich nie eine Maßtheorie-Vorlesung aber was ich so gefunden habe, integriert man hier über den Bereich wo T_y kleiner ist als T_x nur wie gelange ich nun an meine Integrationsgrenzen?

26.01.2019, 19:56

HAL 9000

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Naja, du musst eben einfach über die passende Fläche (Dreieck) integrieren.

Zitat:

Original von ads
Wie kann ich damit die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Person mit Alter $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vor der Person mit Alter $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stirbt?

Das bedeutet für die Restlebenszeiten das Ereignis $\begin{eqnarray*} T_y<T_x \end{eqnarray*}$ mit zugehöriger Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(T_y<T_x) = \int\limits_0^{20} \int\limits_0^s f_{T_x,T_y}(s,t) ~ \dd t ~ \dd s \end{eqnarray*}$ .

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