Gleichung zur Konstruktion eines Hypozykloids

Neue Frage »

CAWCAWCAW Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung zur Konstruktion eines Hypozykloids
Meine Frage:
Eine Gleichung zur Konstruktion eines Hypozykloiden lautet:

x=(2*cos(t)-cos(2*t))*r + p*(cos(s-2t))
y=(2*sin(t)-sin(2*t))*a + p*(sin(s-2t))

Für t und s soll die Bedingung gelten:

r*sin(s-t)-a*sin(s)=0

r,a und p sind Parameter.
Wobei p=sqrt(r^2+a^2-2ra*cos(30°))

Beide Teilgleichungen dürfen nur von einer Variable abhängig sein.
Ich habe r*sin(t-s)-a*sin(t)=0 mithilfe von sin(t-s) = sin(t)*cos(s)-cos(t)*sin(s) nach t umgestellt und folgende Gleichung erhalten:
s=arctan((sin(t))/(r*cos(t)-a))
Setze ich das nun in die Ausgangsgleichung ein so erhalte ich:

x=(2*cos(t)-cos(2*t))*r + p*(cos(arctan((sin(t))/(r*cos(t)-a))-2*t))
y=(2*sin(t)-sin(2*t))*a + p*(sin(arctan((sin(t))/(r*cos(t)-a))-2*t))

Im Intervall von -30°<=t<=30 bzw. -PI/6<=t<=PI/6 sollte nun ein Hypozykloid konstruiert werden...

Gebe ich die Gleichungen mit den Parametern r=40mm, a=32mm und dem daraus resultierendem p=20.17mm ein, so erhalte ich einen Bogen, der nicht ganz die Richtige Form und auch nicht den Richtigen Abstand zum Koordinatenursprung hat.

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Hab ich etwas falsch umgestellt oder eingesetzt?
Oder hab ich einen völlig falschen Ansatz gewählt?

Die Gleichung habe ich der vierten Seite dieser Dokumentation entommen: https://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.1177/1687814016683352

Meine Ideen:
.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung zur Konstruktion eines Hypozykloids
Zitat:
Original von CAWCAWCAW
...
Ich habe r*sin(t-s)-a*sin(t)=0 mithilfe von sin(t-s) = sin(t)*cos(s)-cos(t)*sin(s) nach t umgestellt und folgende Gleichung erhalten:
s=arctan((sin(t))/(r*cos(t)-a))
...

Darin sind gleich 2 Fehler. Entgegen der Angabe steht hier sin(t-s) anstatt sin(s-t) und beim Resultat für s fehlt im Zähler [bei sin (t)] der Faktor r
Der erste Fehler mag ein Schreibfehler sein, aber der fehlende Faktor r ist es definitiv nicht.

EDIT:

Ein anderes - gravierenderes - Manko ist, dass die Kurve in der gegenwärtigen Darstellung keine (Hypo-)Zykloide darstellt.
Anstatt deren Graph feststehend ist und nur der erzeugende Punkt auf ihr wandert, verändert die Kurve andauernd ihre Lage und Form. Das liegt offensichtlich daran, dass der Parameter t auch noch die "Konstante" s laufend beeinflusst.
Eigentlich sollte s auch konstant bleiben (was es allerdings wegen der vorgegebenen Beziehung nicht tun kann) oder es sollte zumindest möglich sein, aus der Parameterdarstellung eine eindeutige implizite Funktion zu generieren.
Der Plot zeigt jedoch etwas anderes. Es muss also irgendwo noch ein Fehler sein, der bis dato nicht aufzufinden ist.

mY+
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »