Lemma von Euklid

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28.01.2019, 17:44	Struwe	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma von Euklid Meine Frage: Hallo zusammen. Ich versuche das Lemma von Euklid zu beweisen, ohne auf den Satz von Bezout oder den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie zurückzugreifen: Sind $\begin{eqnarray} a,\, b\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und gilt $\begin{eqnarray} p\mid ab \end{eqnarray}$ , folgt $\begin{eqnarray} p \mid a \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p \mid a \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Es reicht ja, zu $\begin{eqnarray} p \mid a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \nmid a \end{eqnarray}$ zu unterscheiden. Gilt $\begin{eqnarray} p \mid a \end{eqnarray}$ ist man fertig. Gilt $\begin{eqnarray} p \nmid a \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \operatorname {ggT} (p,a))1 \end{eqnarray}$ . Weiter komme ich nicht...
28.01.2019, 18:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p\|ab\Rightarrow pz=ab, p\nmid a\Rightarrow ggT(p,a)=1\Rightarrow 1=xp+ya\Rightarrow b=b\cdot 1=b(xp+ya)=bxp+yab=bxp+ypz=p(bx+yz)\Rightarrow p\|b \end{eqnarray}$
28.01.2019, 18:52	Struwe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre mit dem Lemma von Bezout, aber trotzdem danke für die Hilfe
28.01.2019, 18:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir gefällt's
28.01.2019, 18:59	Struwe	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir auch Dann geht es wohl nicht anders.
28.01.2019, 20:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine (ernstgemeinte) Möglichkeit habe ich noch. Ich definiere Primzahlen so: $\begin{eqnarray} p\ne\pm 1 \end{eqnarray}$ heißt Primzahl, wenn für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} p\|ab\Rightarrow p\|a\vee p\|b \end{eqnarray}$ Genau so definiert man Primelemente in beliebigen Ringen. Dann darf p allerdings keine Einheit sein, nicht nur nicht +/-1.
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28.01.2019, 20:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
MIt $\begin{eqnarray} a=np+r, b=mp+s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq r,s<p \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} ab \equiv rs \bmod p \end{eqnarray}$ . Mir fällt nur leider auch kein einfaches Argument ein, warum $\begin{eqnarray} p\|rs \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq r,s<p \end{eqnarray}$ nur für rs=0 geht. Immerhin hat man das Problem auf endlich viele Zahlen r,s reduziert
28.01.2019, 20:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gutes Argument, das klappt, weil der Körper modulo p nullteilerfrei ist.
28.01.2019, 21:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Gutes Argument Aber vermutlich auch nicht elementarer als Bezout
28.01.2019, 21:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementares Grundwissen Algebra: Jeder Körper ist nullteilerfrei.
28.01.2019, 22:12	Struwe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Mühen
28.01.2019, 22:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings muss man auch erst mal zeigen, dass dieses modulo-p-Ding tatsächlich ein Körper ist.
29.01.2019, 06:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu diesem Zweck untersucht man die Lösungen linearer Kongruenzen und benutzt Bezout. Geht bestimmt auch elementarer, oder nicht? (Braucht man überhaupt Bezout? Hatte nicht schon Euklid den erweiterten Euklidischen Algorithmus? Nachtrag: Laut Wikipedia nicht.) Nachtrag: Die prime Restklassengruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/m\mathbb Z)^ \end{eqnarray*}$ ist nullteilerfrei, sonst wäre sie keine Gruppe. Also zumindest Gauß hat das gewußt, es läuft aber auch wieder auf den erweiterten Euklidischen Algorithmus hinaus. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe )

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