Lemma von Euklid |
28.01.2019, 18:44 | Struwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lemma von Euklid Hallo zusammen. Ich versuche das Lemma von Euklid zu beweisen, ohne auf den Satz von Bezout oder den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie zurückzugreifen: Sind und gilt , folgt oder . Meine Ideen: Es reicht ja, zu und zu unterscheiden. Gilt ist man fertig. Gilt folgt . Weiter komme ich nicht... |
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28.01.2019, 19:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
28.01.2019, 19:52 | Struwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das wäre mit dem Lemma von Bezout, aber trotzdem danke für die Hilfe |
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28.01.2019, 19:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir gefällt's |
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28.01.2019, 19:59 | Struwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir auch Dann geht es wohl nicht anders. |
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28.01.2019, 21:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine (ernstgemeinte) Möglichkeit habe ich noch. Ich definiere Primzahlen so: heißt Primzahl, wenn für alle ganzen Zahlen gilt Genau so definiert man Primelemente in beliebigen Ringen. Dann darf p allerdings keine Einheit sein, nicht nur nicht +/-1. |
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28.01.2019, 21:32 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
MIt und ist . Mir fällt nur leider auch kein einfaches Argument ein, warum mit nur für rs=0 geht. Immerhin hat man das Problem auf endlich viele Zahlen r,s reduziert |
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28.01.2019, 21:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gutes Argument, das klappt, weil der Körper modulo p nullteilerfrei ist. |
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28.01.2019, 22:17 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gutes Argument Aber vermutlich auch nicht elementarer als Bezout |
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28.01.2019, 22:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Elementares Grundwissen Algebra: Jeder Körper ist nullteilerfrei. |
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28.01.2019, 23:12 | Struwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für eure Mühen |
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28.01.2019, 23:40 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Allerdings muss man auch erst mal zeigen, dass dieses modulo-p-Ding tatsächlich ein Körper ist. |
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29.01.2019, 07:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu diesem Zweck untersucht man die Lösungen linearer Kongruenzen und benutzt Bezout. Geht bestimmt auch elementarer, oder nicht? (Braucht man überhaupt Bezout? Hatte nicht schon Euklid den erweiterten Euklidischen Algorithmus? Nachtrag: Laut Wikipedia nicht.) Nachtrag: Die prime Restklassengruppe ist nullteilerfrei, sonst wäre sie keine Gruppe. Also zumindest Gauß hat das gewußt, es läuft aber auch wieder auf den erweiterten Euklidischen Algorithmus hinaus. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe ) |
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