Lemma von Euklid

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Struwe Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma von Euklid
Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich versuche das Lemma von Euklid zu beweisen, ohne auf den Satz von Bezout oder den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie zurückzugreifen:

Sind und gilt , folgt oder .

Meine Ideen:
Es reicht ja, zu und zu unterscheiden.

Gilt ist man fertig.

Gilt folgt .

Weiter komme ich nicht...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Struwe Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre mit dem Lemma von Bezout, aber trotzdem danke für die Hilfe smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mir gefällt's Augenzwinkern
Struwe Auf diesen Beitrag antworten »

Mir auch smile Dann geht es wohl nicht anders.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine (ernstgemeinte) Möglichkeit habe ich noch. Ich definiere Primzahlen so: heißt Primzahl, wenn für alle ganzen Zahlen gilt

Genau so definiert man Primelemente in beliebigen Ringen. Dann darf p allerdings keine Einheit sein, nicht nur nicht +/-1.
 
 
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MIt und ist .
Mir fällt nur leider auch kein einfaches Argument ein, warum mit nur für rs=0 geht. Immerhin hat man das Problem auf endlich viele Zahlen r,s reduziert Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gutes Argument, das klappt, weil der Körper modulo p nullteilerfrei ist.
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Gutes Argument Augenzwinkern Aber vermutlich auch nicht elementarer als Bezout
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Elementares Grundwissen Algebra: Jeder Körper ist nullteilerfrei.
Struwe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Mühen smile Wink
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Allerdings muss man auch erst mal zeigen, dass dieses modulo-p-Ding tatsächlich ein Körper ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu diesem Zweck untersucht man die Lösungen linearer Kongruenzen und benutzt Bezout. Augenzwinkern Geht bestimmt auch elementarer, oder nicht?
(Braucht man überhaupt Bezout? Hatte nicht schon Euklid den erweiterten Euklidischen Algorithmus? Nachtrag: Laut Wikipedia nicht.)

Nachtrag: Die prime Restklassengruppe ist nullteilerfrei, sonst wäre sie keine Gruppe. Also zumindest Gauß hat das gewußt, es läuft aber auch wieder auf den erweiterten Euklidischen Algorithmus hinaus. Teufel ( https://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe )Teufel
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