Vektorfeld parametrisieren

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EinSturmZiehtAuf Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld parametrisieren
Würde gerne verstehen wieso die Parametrisierung in kartesischen Koordinaten vom Vektorfeld im Anhang V(x,y,z)=C×(-y,x,0) lautet?

Ein kreis wäre ja (rcosphi,rsinphi,0) aber das gelte in Zylinderkoordinaten. Wie würde ich das in Kartesische Koordinaten umwandeln. Und wieso ist vor dem y ein minus? Das kommt womöglich aufgrund der Orientierung da sich das Feld gegen den uhrzeigersinn bewegt. Wäre dss aber nicht normalerweise plus?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld parametrisieren


ist die die Standardparametrisierung eines Kreises mir Radius um den Ursprung. Bei ihr wird der Kreis entgegen dem Uhrzeigersinn umlaufen. Die sich aus dieser Parametrisierung ergebenden Tangentenvektoren sind



Das zweite Gleichheitszeichen ergibt sich simpel, indem man die erste Gleichung von rechts nach links benutzt. Zeichne einfach mal an einenn Punkt auf dem Kreis den Vektor , dann siehst du, dass er auch entgegen dem Uhrzeigersinn gerichtet ist.
sturmziehtaufuaf Auf diesen Beitrag antworten »

hey vielen dank. Mal eine Frage: Wieso bildest du die Ableitung bzw wie du es nennst ,,Tangentenvektor" ?

Gibt es ein Zusammenhang mit dem Kurvenintegral 2. Art? Da wird ja auch ein Weg parametrisiert und dann multipliziert mit der Ableitung dieser Parametrisierung.

Ich glaube darum geht es hier oder? Also der Prof. möchte sehen das wir vom Kurvenintegral 2. Art dS bestinmmen können oder was denkst du?

Es geht darum, da ich mit zweiteres damit etwas anfangen kann, aber Tangentenvektor sagt mir absolut rein gar nichts.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sturmziehtaufuaf
hey vielen dank. Mal eine Frage: Wieso bildest du die Ableitung bzw wie du es nennst ,,Tangentenvektor" ?

Ein Tangentenvektor ist ein Vektor, dessen Richtung mit der Tangentenrichtung der Kurve in dem betrachteten Punkt auf der Kurve übereinstimmt. Bei einer parametrisierten Kurve kriegt man einen solchen durch Ableiten der Parametriserung der Kurve. Das habt ihr sicher in der Vorlesung gehabt.

Zitat:
Gibt es ein Zusammenhang mit dem Kurvenintegral 2. Art? Da wird ja auch ein Weg parametrisiert und dann multipliziert mit der Ableitung dieser Parametrisierung.

Man kann das Kurvenintegral 2. Art auf das Kurvenintegral 1. Art zurückführen. Das geschieht durch Projektion der Vektoren des Vektorfeldes auf die Tangente an die Kurve. Diese Projektion lässt sich mit Hilfe eines Tangentenvektors darstellen.

Zitat:
Ich glaube darum geht es hier oder? Also der Prof. möchte sehen das wir vom Kurvenintegral 2. Art dS bestinmmen können oder was denkst du?

Aus deinen Angaben kann ich nicht schließen, um was es eurem Prof. geht.

Zitat:
Es geht darum, da ich mit zweiteres damit etwas anfangen kann, aber Tangentenvektor sagt mir absolut rein gar nichts.

Siehe oben! Es hilft dir nicht, nur abstrakt darüber nachzudenken. Du musst dir das an Beispielen klar machen. Also zeichne einen Kreis . Wähle einen Wert für , z.B. . Bestimme die dazu gehörigen x- und y-Werte.
Zeichne an diesen Punkt die Tangente. Zeichne an diesen Punkt den wie oben berechneten Tangentenvektor. Dann siehst du, dass er auf der Tangente liegt.
sturmziehtaufuaf Auf diesen Beitrag antworten »

hey ich muss noch einmal pushen. Wenn ich jetzt das gegebene Feld parametrisierte Feld was wir bestimmt haben

V(x,y,z)=c* ((-y,x,0)^T via den Basisvektoren in Kugelkoordinaten darstellen will wie mach ich das? Welche Transformationsvorschrift nutzt man da ?

Rauskommen sollte C*sqrt(x^2 + y^2) * Einheitsvektor e_phi

Ich sehe das der Betrag von dem vorherigen Feld bestimmt wurden ist und einfach nur mit e_phi multipliziert wurden ist. Ich verstehe jedoch nicht wieso.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten festgestellt, wenn die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis mit Radius sind, dann ist ein Tangentenvektor an den Kreis in diesem Punkt. Die Länge von ist



Daher ist



ein Einheitsvektor, der genannt, weil er sich in der parametrisierten Form des Vektorfeldes durch partielles Ableiten nach ergibt. Damit ist offensichtlich

 
 
sturmziehtaufauf Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr. Habe das jetzt verstanden. Dennoch hab ich eine Frage.

Wenn man jetzt beliebige Parametrisierungen ableitet erhält man ja deren Tangentenvektor. Wenn man diesen Tangentenvektor mit dessen Einheitsvektor multipliziert erhalten wir denselben Tangentenvektor der mit einem Einheitsvektor multipliziert wird ( Er hat denselben Betrag wie unser Einheitsvektor und zeigt auch indieselbe Richtung -> Dadurch wird keine Information =Betrag+Richtung bzgl. Unseres Tangentenvektors verloren, da wir sozusagen mit 1 multiplizieren).

Dieser Einheitsvektor trägt nun allgemein ausgedrückt welche Information? Hier stellt er eines der Basisvektoren der Kugelkoordinaten dar. Kann man das noch etwas allgemeiner ausdrücken für beliebige parametrisierten Kurven?
sturmziehtaufauf Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur: Es wird erweitert mit dessen Betrag. Aber mir geht es darum ob man allgemein für beliebige Kurven eine Aussage drüber machen kann was der Term Vektor/(Betrag von Vektor) darstellt.

Hier rein zufällig? Eine der Basisvektoren in Kugelkoordinaten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sturmziehtaufauf
Aber mir geht es darum ob man allgemein für beliebige Kurven eine Aussage drüber machen kann was der Term Vektor/(Betrag von Vektor) darstellt.

Das hat erst mal gar nichts mit Kurven zu tun. Dieser Vektor ist ein Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung zeigt, wie der ursprüngliche Vektor.

Zitat:
Hier rein zufällig? Eine der Basisvektoren in Kugelkoordinaten.

Nicht zufällig, aber auch nicht zwingend. Es gibt zu jeder Kurve beliebig viele unterschiedliche Parametrisierungen. Die haben im allgemeinen nichts mit bestimmten Koordinatensystemen zu tun. Wenn aber die Kurve so gestaltet ist, dass auf ihr in einem bestimmten Koordinatensystem sich nur eine der Koordinaten dieses Systems ändert, dann ist der normierte Tangentenvektor dieser Kurve gleichzeitig der Basisvektor zu dieser Koordinate des betrachteten Koordinatensystems.

Auf Kreisen in der Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung ändert sich in Polarkoordinaten nur die Winkelkoordinate. Deshalb sind ihre normierten Tangentialvektoren auch Basivektoren zu dieser Winkelkoordinate. Bei Kreisen im Raum, deren Ebene senkrecht zur z-Achse liegt und deren Mittelpunkt auf der z-Achse liegt, gilt das bei üblicher Orientierung der Koordinatensysteme für die Winkelkoordinate von Zylinderkoordinaten und für eine der beiden Winkelkoordinaten von Kugelkoordinaten.
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