Urnenproblem

29.01.2019, 17:27

yellowman

Urnenproblem

Hallo zusammen, ich habe eine Urnenaufgabe. Gegeben sei eine Urne mit 3weißen und 4schwarzen Kugeln. (Ziehen ohne zurücklegen)
Es wird jeweils dreimal gezogen.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße und zwei schwarze Kugeln gezogen werden.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine weiße Kugel gezogen wird.
c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln gezogen werden.

Meine Ideen:

a) Ich habe mit der Formel für die hypergeometrische Verteilung gerechnet. Damit erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} P(1W,2S)=\frac{\binom{3}{1}\binom{4}{2}}{\binom{7}{3}}=\frac{18}{35} \end{eqnarray*}$

b) Hier habe ich auch mit der hypergeimetrischen Verteilung gerechnet.

$\begin{eqnarray*} P(W\geq 1)=1-P(W=0)=1-\frac{\binom{3}{0}\binom{4}{3}}{\binom{7}{3}}=\frac{31}{35} \end{eqnarray*}$

c) Hier habe ich auch mit der hypergeometrischen Verteilung gerechnet.

$\begin{eqnarray*} P(W\geq 2)=1-P(W=1)-P(W=0)=1-\frac{\binom{3}{1}\binom{4}{2}}{\binom{7}{3}}-\frac{\binom{3}{0}\binom{4}{3}}{\binom{7}{3}}=\frac{13}{35} \end{eqnarray*}$

Kann vielleicht mal jemand drüber schauen und mir sagen ob es richtig ist?

Viele Grüße smile

29.01.2019, 17:35

HAL 9000

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Es wird jeweils dreimal gezogen? Bei a) ist das klar, aber bei b),c) nicht notwendig.

29.01.2019, 17:37

yellowman

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Hallo Hal9000, genau es wird bei a) bis c) jeweils dreimal gezogen. Das werde ich mal editieren.

VIele Grüße smile

29.01.2019, 17:40

HAL 9000

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Ja, die Ergebnisse sind richtig, folgen aus den hypergeometrischen Verteilungswerten $\begin{eqnarray*} P_W((0,1,2,3)) = (4,18,12,1)/35 \end{eqnarray*}$ .

29.01.2019, 18:03

yellowman

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Alles klar, dankeschön. smile

01.02.2019, 19:18

yellowman

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Ich habe zu der Aufgabe doch noch eine Frage. Wie müsste ich im Fall 3mal ziehen die Wahrscheinlichkeit mittels Siebformel bestimmen das mindestens einmal weiß gezogen wird also $\begin{eqnarray*} P(W\geq 1) \end{eqnarray*}$ (Aufgabe b)

Da wird zwei unterscheidbare Kugeln haben müsste ich die Siebformel für zwei Ereignisse nehmen.

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A\cap A_2) \end{eqnarray*}$

Ich weiß noch nicht genau wie ich die Ereignisse definieren soll. Meine Ideen bisher sind:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ = Es wird mindestens einmal rot gezogen
$\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ = Es wird kein rot gezogen.

Wie ich das jetzt mit $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ anstelle weiß ich noch nicht genau. Hat mir da jemand helfen?

Viele Grüße smile

02.02.2019, 16:27

yellowman

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Hat niemand eine Idee wie ich das mit der Siebformel berechnen kann?

Viele Grüße smile

03.02.2019, 17:22

HAL 9000

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Warum willst du das mittels Siebformel bestimmen? Dein Weg oben

Zitat:

Original von yellowman
b) Hier habe ich auch mit der hypergeimetrischen Verteilung gerechnet.

$\begin{eqnarray*} P(W\geq 1)=1-P(W=0)=1-\frac{\binom{3}{0}\binom{4}{3}}{\binom{7}{3}}=\frac{31}{35} \end{eqnarray*}$

ist der klar bessere. Wenn du es aber gern umständlich magst, dann kannst du z.B. so vorgehen: Mit den Ereignissen

$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ... die weiße Kugel Nr. $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist in der Auswahl dabei

kann man dann (der Symmetrie wegen) so rechnen

$\begin{eqnarray*} P(W\geq 1) &=& P(A_1\cup A_2\cup A_3) = 3P(A_1)-3P(A_1\cap A_2)+P(A_1\cap A_2\cap A_3)\\ &=& \frac{1}{\binom{7}{3}}\left( 3\cdot \binom{6}{2} - 3\cdot \binom{5}{1} + \binom{4}{0}\right) = \frac{1}{35}\left( 45-15+1\right) = \frac{31}{35} \end{eqnarray*}$ .

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