Festplatten-Sortiment

30.01.2019, 09:19

JustMaths

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Festplatten-Sortiment

Meine Frage:
Von 500 Festplatten sind 10 defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter den 10 zufällig ausgewählten Festplatten genau eine defekt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist von 100 zufällig ausgewählten Festplatten mindestens eine fehlerhaft?

Meine Ideen:
Wenn ich das in einem Baumdiagramm einzeichnen würde, dann wären 490/500 ok und 10/500 Festplatten nicht ok.

Bei der 1) Frage würde ich die Binomialverteilung verwenden.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% sind 10 von den 500 Schrauben defekt.

P(X=1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,02^1 * 0,98^99 \end{eqnarray*}$

Wäre der Ansatz denn so ungefähr korrekt?

Ich habe es auch mit der hypergeometr. Verteilung versucht, klappt aber nicht.

30.01.2019, 09:23

JustMaths

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RE: Festplatten-Sortiment
Edit: Es sollte lauten

P(X=1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,02^1 * 0,98^9 \end{eqnarray*}$

Bei der 2. Frage) würde man mit dem Gegenereignis rechnen?

30.01.2019, 09:49

JustMaths

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RE: Festplatten-Sortiment
[quote]Original von JustMaths
Edit: Nur um es nochmal zu vervollständigen.

P(X=1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,02^1 * 0,98^9 \end{eqnarray*}$ = 16,675%. Warum funktioniert hier die hypergeometrische Verteilung nicht?

30.01.2019, 10:04

G300119

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RE: Festplatten-Sortiment
Warum sollte sie nicht funktionieren? verwirrt

verwirrt

Da nicht zurückgelegt wird, müsstest du sie sogar nehmen für das exakte Ergebnis, auch wenn der Unterschied wohl gering ist aufgrund der relativ großen Grundgesamtheit.

30.01.2019, 10:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von JustMaths
Warum funktioniert hier die hypergeometrische Verteilung nicht?

Wer sagt denn sowas? Sie funktioniert, und ist eigentlich auch die richtige Wahl für dieses Ziehen ohne Zurücklegen! Die Binomialverteilung wäre für Ziehen mit Zurücklegen (d.h. für jede einzelne der 10 Entnahmen!) richtig gewesen, ein eher unübliches Verfahren für derlei Stichprobenentnahmen. Die Gründe, bei sehr großen Grundgesamtheiten dennoch mit Binomialverteilung zu rechnen, sind rein numerischer Natur (salopp: die riesigen Binomialkoeffizienten sollen vermieden werden), und für diese großen Grundgesamtheiten ist ja der Fehler durch diese eigentlich falsche Modellwahl numerisch vernachlässigbar.

30.01.2019, 10:13

G300119

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RE: Festplatten-Sortiment
PS:

2. P(X>=1) = 1-P(X=0)

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30.01.2019, 11:45

JustMaths

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Wie würde das denn mit der hypergeometrischen Verteilung aussehen?
So etwa?

P(X=1)= $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 500 \\ 10 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

30.01.2019, 12:06

HAL 9000

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Nein, es ist $\begin{eqnarray*} P(X=1) = \frac{\binom{10}{1}\binom{490}{9}}{\binom{500}{10}} \end{eqnarray*}$ . Aber beachte die letzte Anmerkung von G300119, eigentlich ist ja

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1-\frac{\binom{10}{0}\binom{490}{10}}{\binom{500}{10}} \end{eqnarray*}$

gesucht.

30.01.2019, 12:21

JustMaths

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Den Ansatz mit dem Gegenereignis verwendet man doch erst bei der 2.) Frage, oder nicht?

30.01.2019, 13:02

HAL 9000

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Ah Ok, hatte ich übersehen, dass da zwei Fragen in einer Zeile waren - hab nur auf das Ende geschaut-

30.01.2019, 17:53

JustMaths

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nein, es ist $\begin{eqnarray*} P(X=1) = \frac{\binom{10}{1}\binom{490}{9}}{\binom{500}{10}} \end{eqnarray*}$ . Aber beachte die letzte Anmerkung von G300119, eigentlich ist ja

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1-\frac{\binom{10}{0}\binom{490}{10}}{\binom{500}{10}} \end{eqnarray*}$

gesucht.

Tut mir leid, ich hatte es vorhin eilig. Habe es bei der 1) eigentlich genauso gehabt.
Aber der auf meinem Taschenrechner kann ich nicht 490 über 9 eingeben (= 490!/(9!*(490-9)!). Es wird mir "Überlauf" angezeigt.

30.01.2019, 18:03

JustMaths

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ich habe es mal mit einem anderem Taschenrechner versucht und käme auf 16,955 % für die 1) ? mittels hypergeometrischer Verteilung. Beim Ansatz mit der Binomialverteilung hatte ich 16,675%

30.01.2019, 18:37

JustMaths

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Sollte es bei der 2. Frage nicht lauten:

P(X>1) = 1 - $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 490\\ 100\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 500 \\ 100\end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Ich berechne hier erst den Pfad, dass alle 100 Festplatten einwandfrei funktionieren, dann mit dem Gegenereignis, dass mind. eine Festplatte fehlerhaft ist.

Stimmt denn der Gedanke?

(hier nochmal die Aufgabe:Von 500 Festplatten sind 10 defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter den 10 zufällig ausgewählten Festplatten genau eine defekt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist von 100 zufällig ausgewählten Festplatten mindestens eine fehlerhaft?)

30.01.2019, 19:07

Dopap

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Zitat:

Original von JustMaths

...
Aber der auf meinem Taschenrechner kann ich nicht 490 über 9 eingeben (= 490!/(9!*(490-9)!). Es wird mir "Überlauf" angezeigt.

$\begin{eqnarray*} \binom {490}{9}=\frac{490\cdot489\cdots 492}{1\cdot2\cdots 9} \end{eqnarray*}$

wenn man das im Zickzack $\begin{eqnarray*} \downarrow \uparrow\downarrow\cdots \end{eqnarray*}$ ausrechnet vermeidet man den Überlauf.

30.01.2019, 19:19

JustMaths

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Vielen Dank, ich habe meinen Kommentar nochmal editiert. Stimmt die Rechnung denn?

Und PS: Sollte im Zähler nicht 482 bei dir stehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2019, 19:24

Dopap

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Zitat:

Original von JustMaths
Sollte es bei der 2. Frage nicht lauten:

$\begin{eqnarray*} P(X{\color{red}\geq }1) = 1 - \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 490\\100\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 500 \\ 100\end{pmatrix} }\approx 89.5\% \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen.

statt der Matrix geht auch

code:
1:	[latex]\binom {a}{b}[/latex]

30.01.2019, 19:30

JustMaths

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warum kommt eine 10 unter 490 im Zähler? 100-10 ist nicht =0 ?

30.01.2019, 19:33

JustMaths

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Dann käme aber laut deiner Rechnung eine negative Wahrscheinlichkeit raus?

30.01.2019, 19:33

Dopap

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ist editiert

30.01.2019, 19:35

JustMaths

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Mein Taschenrechner schafft es nicht 490 über 100 auszurechnen...

30.01.2019, 23:18

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \binom {490}{100}\approx 2.1428\cdot10^{106} \end{eqnarray*}$

vielleicht liegt es an den 106

aber bei $\begin{eqnarray*} \frac {\binom {490}{100}}{\binom{500}{100}}=\frac{363046377745786}{3459197703375895}\approx 0.104951 \end{eqnarray*}$ kann man jede Menge kürzen. Das geht per Hand auf jedem Taschenrechner.

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