Komplexe Zahl darstellen als x+iy

30.01.2019, 12:47	xMintberryCrunch	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl darstellen als x+iy Meine Frage: Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form x+ iy mit x,y?R und in der Form re^i? mit r?R+ und ??[0,2?) dar: (a) $\begin{eqnarray} (\frac{1+i}{1-i})^{k} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hab versucht mit $\begin{eqnarray} (1+i)^{k} \end{eqnarray}$ zu erweitern, aber weiter komme ich leider nicht.
30.01.2019, 12:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahl darstellen als x+iy Ich würde erst mal nur den Bruch mit 1+i erweitern. Welches Ergebnis hast du denn bei deiner Rechnung?
30.01.2019, 13:11	xMintberryCrunch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahl darstellen als x+iy Hab folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{(1+i)^k}{(1-i)^k} \frac{(1+i)^k}{(1+i)^k} = \frac{(1+i)^{2k}}{(1-i)^k(1+i)^k} \end{eqnarray}$ Keine Ahnung wie ich das ausmultiplizieren muss
30.01.2019, 13:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweitere erstmal unter der Potenz, d.h. $\begin{eqnarray} \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^k = \left( \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} \right)^k \end{eqnarray}$ . So, und nun rechne Zähler und Nenner explizit aus.
30.01.2019, 13:50	xMintberryCrunch	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekomme dann: $\begin{eqnarray} (\frac{i^2+2i+1}{-i^2+1})^k \end{eqnarray}$ mit i^2=-1 komme ich auf z=0+i, also Re(z) = 0 und Im(z)=1 Richtig?
30.01.2019, 14:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was du da bereits für Schlüsse ziehst und was du mit $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ meinst... ich komme nach der besprochenen Erweiterung und Vereinfachung jedenfalls erstmal nur auf $\begin{eqnarray} i^k \end{eqnarray}$ . Wieso bei dir das Resultat nicht mehr von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ abhängt, kann ich nicht nachvollziehen.
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30.01.2019, 14:06	xMintberryCrunch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja natürlich, hab mich zu früh gefreut Wie mache ich denn mit i^k weiter? :o
30.01.2019, 14:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck dir mal i^k für k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 an. Was fällt auf?
30.01.2019, 14:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@xMintberryCrunch Bestimme doch erstmal die Polardarstellung $\begin{eqnarray} re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , daraus folgt via $\begin{eqnarray} i^k = r^k e^{ik\varphi} \end{eqnarray}$ sofort die gesuchte Polardarstellung des Ergebnisses.
30.01.2019, 14:54	xMintberryCrunch	Auf diesen Beitrag antworten »
i^0 = 1 i^1 = i i^2 = -1 i^3 = -i i^4 = 1 i^5 = i i^6 = -1 i^7 = -i Für gerade Exponenten kommt -1 oder 1 abwechselnd und für ungerade i oder -i raus. Der Winkel ändert sich jedes Mal um 90 Grad, also pi/2. $\begin{eqnarray} e^{k\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$
30.01.2019, 15:18	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, damit solltest du in der Lage sein, auf die gestellte Frage eine Antwort zu liefern.
30.01.2019, 15:34	xMintberryCrunch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{ik\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(k\frac{\pi}{2} )+i\sin(k\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray}$ So sollte es jetzt stimmen.
30.01.2019, 16:57	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt.

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