Partiell und Kettenregel rückwärts... Wo liegt mein Fehler?

30.01.2019, 16:16

laienstefan

Partiell und Kettenregel rückwärts... Wo liegt mein Fehler?

Hi

ich bitte um Hilfe beim Lösen des folgenden Integrals:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \int_{0}^{\frac{R}{2}} \! (1-(\frac{2r}{R})^{2}+\frac{3}{ln(2)} ln(\frac{2r}{R}) \, r dr \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht alles durch Ausmultiplizieren zu lösen - Substituieren (für r/R oder {2r/R}, was wäre geschickter?) würde wohl mehr Sinn machen trotzdem muss es ja auch so gehen und unglaublich kompliziert ist das Integral ja ohnehin nicht. Dachte ich meine Lösung stimmt aber mit der Lösung nicht überein. Woran liegt es?

Vorab: Die Musterlösung gibt $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \frac{3R^2}{4} \frac{1}{4} (5-\frac{3}{ln(2)}) \end{eqnarray*}$

Das trickreiche ist ja das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{R}{2}} \! ln(\frac{2r}{R}) \, r dr \end{eqnarray*}$ und partiell integriert habe ich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{R}{2}} \! ln(\frac{2r}{R}) \, r dr = [ln(\frac{2r}{R}) \frac{1}{2} r^2]_{0}^{\frac{R}{2}} - \int_{0}^{\frac{R}{2}} \! (\frac{R}{2r}) (\frac{2}{R}) \frac{1}{2} r^2 \, dr = - \frac{1}{8} R^2 \end{eqnarray*}$

Wenn soweit alles stimmen sollte (was ich stark bezweifle) wäre ich zufrieden, zusammenschreiben sollte ja eigentlich das kleinste Problem sein.
Wie wärt ihr vorgegangen bzw. was ist bei meiner partiellen Integration schiefgelaufen?

LG

30.01.2019, 16:41

Mathema

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Partielle Integration ist schon in Ordnung. Nur der Nenner scheint mir verkehrt zu sein. Du solltest aber schon noch ein Wort verlieren, was mit dem Term passiert vor dem Integral. Ist dir überhaupt klar, dass dein Integrand für $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht definiert ist?

30.01.2019, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von laienstefan
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \int_{0}^{\frac{R}{2}} \! (1-(\frac{2r}{R})^{2}+\frac{3}{ln(2)} ln(\frac{2r}{R}) \, r dr \end{eqnarray*}$

Es fehlt eine schließende Klammer im Integranden. Je nachdem, wo die platziert wird, ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse - das musst du also ergänzen, denn ich erkenne dank fehlendem Kontext nicht, wo die hingehört. Favoriten sind

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\frac{R}{2}} \left(1-\left(\frac{2r}{R}\right)^2+\frac{3}{\ln(2)}\ln\left(\frac{2r}{R}\right)\right)r ~ \dd r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\frac{R}{2}} \left(1-\left(\frac{2r}{R}\right)^2+\frac{3}{\ln(2)}\ln\left(\frac{2r}{R}\right)r\right) ~ \dd r \end{eqnarray*}$ .

Aus Sicht physikalischer Einheiten würde ich für die erste Variante plädieren. Wie auch immer, mit der linearen Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac{2r}{R} \end{eqnarray*}$ würde man sich einiger Brüche entledigen, auch die Integrationsgrenzen wären dann echte Konstanten (d.h. von keiner der vielen Größen abhängig).

Zitat:

Original von Mathema
Ist dir überhaupt klar, dass dein Integrand für $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht definiert ist?

Das würde ich mal nicht so eng sehen, es handelt sich hier nur um eine stetig hebbare Definitionslücke dank $\begin{eqnarray*} r\ln(r)\to 0 \end{eqnarray*}$ .

30.01.2019, 17:03

Mathema

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Ja, dass der Integrand stetig nach $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ fortsetzbar und somit integrierbar ist, ist mir klar (und dir sowieso). Bleibt die Frage, ob auch laienstefan dieses klar ist. Ich wollte auch nur etwas das Problembewusstsein schulen. Dass laienstefan so ganz stillschweigend darüber hinweggeht, hat mich doch etwas gewundert.

30.01.2019, 17:18

HAL 9000

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Stimmt natürlich. Allerdings stehen momentan viel banalere Fragen auf der Tagesordnung, nämlich überhaupt erstmal syntaktisch korrekte Integranden. Augenzwinkern

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