Schnittpunkt dreier homogener Geraden

30.01.2019, 17:35	Evdokiaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt dreier homogener Geraden Meine Frage: Gegeben sind die drei Geraden: 5x0+x1-x2=0, 11x0-x1-x2=0, 9x0+x1-3x2=0. Suche die drei Schnittpunkte und fertige eine Zeichnung ein! Meine Ideen: Wie finde ich den Schnittpunkt der drei Geraden aus? Darf ich sie wie Ebenen behandeln, obwohl sie Geraden im Projektivem Raum sind oder wie mache ich das? Vielen Dank für Eure Hilfe.
31.01.2019, 00:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Gleichungen als Ebenen behandelst, dann sind sie nicht mehr Elemente des projektiven Raumes und es ergibt sich auch nur die triviale Lösung. Setze oBdA z.B. $\begin{eqnarray} x_2 \neq 0 \end{eqnarray}$ und dividiere durch $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , dann sieht die Schnittpunktberechnung von g1, g2 so aus: $\begin{eqnarray} 5\frac{x_0}{x_2} + \frac{x_1}{x_2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10\frac{x_0}{x_2} - \frac{x_1}{x_2} = 1 \end{eqnarray}$ ----------------------- Die Brüche substituiere durch $\begin{eqnarray} v_0, v_1 \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} 5v_0+v_1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10v_0-v_1=1 \end{eqnarray}$ ----------------------------- $\begin{eqnarray} v_0 = \frac 2 {15}, \ v_1=\frac{5}{15} \end{eqnarray}$ Diese Lösungen stellen ebenfalls Verhältnisse dar. $\begin{eqnarray} \frac{x_0}{x_2} = \frac 2 {15}, \ \frac{x_1}{x_2} = \frac 5 {15} \end{eqnarray}$ Da Punktkoordinaten im projektiven (R3-)Raum bis auf einen Fakor bestimmt sind (proportionale Tripel bezeichnen den gleichen Punkt), kann $\begin{eqnarray} x_2 = 15 \end{eqnarray}$ gesetzt werden. Somit lautet der Schnittpunkt S(2; 5; 15), exakter $\begin{eqnarray} S_{g_1,g_2} = \lambda\cdot(2; 5; 15) \end{eqnarray}$ Führe dies analog für die anderen 2 Schnittpunkte durch. mY+

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