Existenz uneigentlicher Integrale

30.01.2019, 22:12	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz uneigentlicher Integrale Meine Frage: Hallo, Ich habe hier eine Aufgabe, womit ich nichts anfangen kann. Ich brauche eure Hilfe Sei f:[0, $\begin{eqnarray} \infty \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ monoton fallend mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Falls die Folge $\begin{eqnarray} S_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray}$ , gegeben durch $\begin{eqnarray} S_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n} f(k) \end{eqnarray}$ konvergiert, so existiert das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! f(t) \, dt \end{eqnarray}$ Hinweis: Zeigen Sie, dass die Funktion F(x) = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x} \! f(t) \, dt, x > 0 \end{eqnarray}$ monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Man kann ohne Beweis argumentieren , dass in diesem Fall der Limes $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } F(x) = \int_{0}^{\infty } \! f(t) \, dt \end{eqnarray}$ existiert. Meine Ideen: Ich weiss nicht, wie ich damit anfangen kann. zz. wäre dass S_n konvergiert => $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Aber kann gar nichts anfangen . Würde mich riesig freuen, wenn ihr mir helfen könnt
31.01.2019, 08:30	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz uneigentlicher Integrale Es ist leicht einzusehen, daß f(x) >= 0 ist für alle x >= 0. Mit geringem Aufwand kann man daraus folgern, daß die Funktion $\begin{eqnarray} F(x) := \int_0^x \! f(t) \, dt, x > 0 \end{eqnarray}$ monoton wachsend ist. Bezüglich der Beschränktheit von F(x) kannst du mal das Integral $\begin{eqnarray} \int_k^{k+1} \! f(t) \, dt \end{eqnarray}$ geeignet nach unten abschätzen. Nutze dazu auch die Monotonie der Funktion f.
31.01.2019, 09:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung: Das $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ hätte nicht extra angeführt werden müssen, denn das ergibt sich aus den beiden anderen Voraussetzungen Monotonie + Reihenkonvergenz $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \end{eqnarray}$ automatisch.

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