Integration mit der Transformationsformel (Transformation finden, Funktionaldeterminante bestimmen)

01.02.2019, 15:22	endrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mit der Transformationsformel (Transformation finden, Funktionaldeterminante bestimmen) Hallo matheboard! Mein Problem betrifft die Integration mit Hilfe der Transformationsformel, genauer gesagt fehlt mir ein bisschen die Herangehensweise für Aufgabenstellungen in folgender Form: - Gegeben wird eine Funktion f(x,y) bzw f(x,y,z) die integriert werden soll - Zudem ist ein Gebiet gegeben über das integriert werden soll - Bei 2 dimensionalen Aufgaben sind das oft 4 Funktionsgelichungen von denen z.b. 2 Hyperbeln und 2 Geraden sind. - Bei 3 dimensionalen Aufgaben ist das teilweiser schon komplizierter das Gebiet überhaupt vorstellbar zu machen (s. mein Beispiel) - In der Regel wird keine Transformation vorgegeben, sondern es ist Teil der Aufgabe diese zu finden Mein Problem ist nun das ich grundsätzlich schon das Gefühl habe die Transformationsformel anwenden zu können, jedoch nicht wirklich "den Blick" dafür habe, welche Idee für eine Transformation in einer Aufgabe wirksam sein könnte. Das liegt irgendwie daran das ich es kompliziert finde auszubalancieren zwischen einem Ansatz der das gegebene Gebiet auf ein "rechteckiges" abbildet, die aber auch eine in halbwegs vertretbarer Zeit berechenbare Funktionaldeterminante bietet, und auch beim einsetzen in die gegebene Funktion noch zu einer transformierten Funktion führt die noch "vernünftig" integriert werden kann. Ich hoffe das Dilemma hier wird klar Ich habe auch mal ein konkretes Beispiel an dem ich erklären kann wo das Problem liegt: Berechnet werden soll: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{D}^{3} \! f \, d\lambda<br /> \end{eqnarray}$ Mit: $\begin{eqnarray} <br /> f(x,y,z) = \| xyz \|<br /> \end{eqnarray}$ D ist das Ellipsoid $\begin{eqnarray} <br /> \left\{ \left(x,y,z\right) \in \mathbb{R}^3 ; \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\right\} <br /> \end{eqnarray}$ Dabei soll gelten: $\begin{eqnarray} <br /> a,b,c > 0<br /> \end{eqnarray}$ Also mein Ansatz dazu bestand aus mehreren Überlegungen: Bzgl. des Betrags hatte ich mir überlegt das der Mittelpunkt von dem Ellipsoid ja der Ursprung sein müsste, wenn ich jetzt also nur den Oktanten der vollständig positiv ist integriert und mal 8 nimmt müsste man ja eigentlich auf das gleiche Ergebnis kommen aber kann den Betrqag weglassen. Diese Überlegung müsste hinkommen, oder? Für die eigentliche Transformation von meinem verbleibenden Ellipsoid-Stück habe ich mir jetzt zwei Möglichkeiten überlegt: Ansatz 1: Die gegebene Formel für das Ellipsoid nutzen um Grenzen nach dem Muster x von 0 bis 1 y von 0 bis f(x) z von 0 bis f(x,y) zu bestimmen. Es fühlt sich aber irgendwie "falsch" an, zunächst relativ umständlich Grenzen für mein Integral im x-y-z-Bereich zu berechnen, wenn ich es doch im u-v-w-Bereich integrieren möchte? Oder liege ich hier falsch? Daher kam ich zu meinem.. Ansatz 2: Ich habe mir überlegt das ein Ellipsoid doch im Prinzip einer Kugel relativ ähnlich ist, also könnte man ja vielleicht auf der bekannten Transformation in Kugelkoordinaten aufbauen? Ich kam dabei auf folgenden Zusammenhang $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot r \cdot sin(\theta) \cdot cos(\phi)\\ b \cdot r \cdot sin(\theta) \cdot sin(\phi \\ c \cdot r \cdot cos(\theta)\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Dann mit den Winkeln jeweils von 0 bis Pi/2 und r von 0 bis 1 Das hielt ich für einen recht guten Ansatz, aber die Funktionaldeterminante finde ich hier doch sehr kompliziert.. Also es geht mir mit dieser Frage gar nicht so sehr um eine Lösung für dieses Konkrete Beispiel, sondern viel mehr auch darum wie ich an solche Aufgaben generell rangehe, wenn ich so eine Aufgabe sehe, was ist dann das erste was ich mir überlegen muss? Und was mache ich dann damit? Vielen Danke für alle Hinweise
28.03.2019, 01:11	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo endrik, deine Überlegungen sind perfekt. Also zuerst die Reduktion auf den positiven Oktanten und dann die Kugelkoordinaten. Alles super. Die Funktionaldeterminante ist doch aber gar nicht so kompliziert. Ich habe $\begin{eqnarray} abcr^2\sin\theta \end{eqnarray}$ raus. Beachte die Regel $\begin{eqnarray} \cos^2t+\sin^2t = 1 \end{eqnarray}$ . Es gibt leider kein Patentrezept für solche Aufgaben. Außer das, das eigene Hirn anzuwenden, was du hier fabelhaft gemacht hast. Weiter so!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »