Das Differential auf reguläre Fläche

01.02.2019, 15:46

Lucy21

Das Differential auf reguläre Fläche

Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Sei S teilmenge R^3 eine reguläre Fläche und F sei die Parametrisierung dieser Fläche. Weiter sei p element von S. Das Differential von f sei dann wie im Bild gegeben.

Angenommen wir haben jetzt ein Einheitsnormalenfeld N auf S.

Was ist dann $\begin{eqnarray*} d_{p}N\left(\frac{\partial F}{\partial u_i}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Meine Idee:
Sei p=F(u) und
Sei c(0)=p und $\begin{eqnarray*} \dot{c}(0)= \frac{\partial F}{\partial u_1} \end{eqnarray*}$ . Nun gilt mit der mehrdimensionalen Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left( N \circ c \right)= \sum\limits_{k=1}^{2} \frac{N( c(0))}{u_{k}} \dot{c_{k}}(0)=\sum\limits_{k=1}^{2} \frac{N( p)}{u_{k}} \frac{\partial F_{k}}{\partial u_{i}} = \frac{\partial N \ circ F}{\partial u_{i}} =\frac{\partial N(p)}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? Auf eine Antwort würde ich mich freuen.

02.02.2019, 01:36

10001000Nick1

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Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Normalenfeld auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ definiert ist. Wie willst du das nach $\begin{eqnarray*} u\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ partiell ableiten?

Der Ausschnitt ist aus Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie, oder?
Dann schau mal ein paar Seiten weiter hinten im Abschnitt über die zweite Fundamentalform, wie man die Koeffizienten der Weingarten-Abbildung berechnen kann. Denn die Weingarten-Abbildung ist nichts anderes als das negative Differential des Einheitsnormalenfeldes: $\begin{eqnarray*} W_p: T_pS\to T_p S, W_p(X):= -d_pN(X) \end{eqnarray*}$ .

Kurz zusammengefasst: Man nimmt sich die Kurve $\begin{eqnarray*} c(t)=F(u+t e_j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in(-\varepsilon, \varepsilon) \end{eqnarray*}$ mit hinreichend kleinem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Es gilt dann $\begin{eqnarray*} c(0)=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot c(0)=\frac{\partial F}{\partial u^j}(u) \end{eqnarray*}$ .
(Man kann diese spezielle Kurve nehmen, weil die Definition des Differentials von der speziellen Kurve unabhängig ist.)
Für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left\langle \frac{\partial F}{\partial u^i}(u+te_j), N(c(t)) \right\rangle =0 \end{eqnarray*}$ .

Dann zeigt man durch Differentiation nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle D_u F(e_i), W_p(D_uF(e_j))\rangle = \left\langle \frac{\partial^2 F}{\partial u^j \partial u^i}(u), N(p) \right\rangle \end{eqnarray*}$ .
(Letzteres sind genau die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} h_{ij} \end{eqnarray*}$ der zweiten Fundamentalform.)

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} D_uF(e_1), D_uF(e_2) \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis von $\begin{eqnarray*} T_pS \end{eqnarray*}$ ; also kann man $\begin{eqnarray*} W_p(D_uF(e_j)) \end{eqnarray*}$ eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren schreiben:
$\begin{eqnarray*} W_p(D_uF(e_j))=\sum_{k=1}^2 w_j^k(u) D_uF(e_k) \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2 w_j^k(u)\cdot \langle D_u F(e_i), D_uF(e_k)\rangle = \sum_{k=1}^2 w_j^k(u) g_{ik}(u) = \left\langle \frac{\partial^2 F}{\partial u^j \partial u^i}(u), N(p) \right\rangle =h_{ij}(u) \end{eqnarray*}$ .
und damit (mithilfe der inversen Matrix $\begin{eqnarray*} (g^{ij}(u))_{i,j} \end{eqnarray*}$ der ersten Fundamentalform)
$\begin{eqnarray*} w_j^l (u) = \sum_{i=1}^2 h_{ij}(u) g^{il}(u) \end{eqnarray*}$ .

(Bist du eigentlich mit der Einsteinschen Summenkonvention vertraut? Das würde die Notation etwas vereinfachen.)

02.02.2019, 11:14

Lucy21

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„Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Normalenfeld auf S definiert ist. Wie willst du das nach u∈ℝ2 partiell ableiten?“

Ich habe mir die Seiten alle gründlich durchgelesen. Ich sagte doch schon S ist eine reguläre Fläche aus dem R^3. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} p \in S \end{eqnarray*}$
Die lokale Parametrisierung von S um p bezeichnen wir mit F. Die Komponenten u_1 und u_2 von u= (u_1,u_2) heißen Koordinaten des Punktes F(u) in S und p= F(u).

Wenn N(p) ein Einheitsnormalenfeld von S ist dann ist

N(p)= N( F(u) ) also kann ich N nach u_1 und auch nach u_2 ableiten.

02.02.2019, 16:13

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Lucy21
Wenn N(p) ein Einheitsnormalenfeld von S ist dann ist

N(p)= N( F(u) ) also kann ich N nach u_1 und auch nach u_2 ableiten.

Nein; du kannst $\begin{eqnarray*} N\circ F \end{eqnarray*}$ partiell nach $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ ableiten, aber nicht $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Das Problem ist, dass die Kettenregel so, wie du sie anwendest, hier nicht benutzt werden kann:
Die Kettenregel für gewöhnliche partielle Ableitungen braucht zwei Abbildungen zwischen offenen Mengen.
Seien z.B. $\begin{eqnarray*} g: V\to W, h: W\to \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ mit offenen Mengen $\begin{eqnarray*} V\subseteq \mathbb R^n, W\subseteq \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} h\circ g: V\to \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ und man kann mit der Kettenregel die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} h\circ g \end{eqnarray*}$ berechnen.

Es gibt auch eine Kettenregel für Differentiale auf regulären Flächen:
Seien $\begin{eqnarray*} f: S_1\to S_2, g: S_2\to S_3 \end{eqnarray*}$ differenzierbare Abbildungen. Dann ist $\begin{eqnarray*} g\circ f: S_1\to S_3 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} d_p(f\circ g): T_pS_1\to T_{(g\circ f)(p)}S_3, d_p(g\circ f)=d_{f(p)} g\circ d_pf \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p\in S_1 \end{eqnarray*}$ .

Diese Kettenregel brauchst du hier allerdings auch nicht, denn das, was du berechnen willst, ist ja gar keine Verkettung zweier solcher Funktionen. Du möchtest einfach das Differential des Normalenvektors, ausgewertet in einem bestimmten Punkt der Tangentialebene, berechnen.

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Was natürlich auch möglich ist: Du schreibst dir die Abbildung $\begin{eqnarray*} N\circ c \end{eqnarray*}$ zuerst explizit hin und leitest dann nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab.
Nimm z.B. die Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , die ich oben hingeschrieben habe. Ein Einheitsnormalenfeld auf $\begin{eqnarray*} F(U)\subseteq S \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N(p) = \frac{\frac{\partial F}{\partial u^1}(u) \times \frac{\partial F}{\partial u^2}(u)}{\left|\frac{\partial F}{\partial u^1}(u) \times \frac{\partial F}{\partial u^2}(u)\right|} \end{eqnarray*}$ . (Oder das negative davon, je nach Orientierung.)

Dann ist $\begin{eqnarray*} N(c(t)) =\frac{\frac{\partial F}{\partial u^1}(u+te_j) \times \frac{\partial F}{\partial u^2}(u+te_j)}{\left|\frac{\partial F}{\partial u^1}(u+te_j) \times \frac{\partial F}{\partial u^2}(u+te_j)\right|} \end{eqnarray*}$ .

Bleibt noch die Frage, ob man sich das wirklich antun will, diese Abbildung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abzuleiten. Ich glaube, bei meinem ersten vorgeschlagenen Weg ist die Rechnung deutlich angenehmer. Augenzwinkern

02.02.2019, 17:27

lucy21

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Ein Normalenfeld auf $\begin{eqnarray*} S \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} N: S \to \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} N(p) \perp T_{p}S \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p \in S \end{eqnarray*}$ ist.

Ein Normalenfeld auf S heißt Orientierbar, wenn es ein auf der ganzen Fläche definiertes differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf S gibt.

In der Definition der Weingartenabbildung betrachten wir Orientierbare reguläre Flächen. sprich N ist ein differenzierbares Einheitsnormalenvektor.
Die Vorschrift der Weingartenabbildung ist nach Christian Bär:

$\begin{eqnarray*} W_{p}(X):=-d_{p}N(X) \end{eqnarray*}$

eine Alternative:

Sei $\begin{eqnarray*} p \in S \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X \in T_{p}S \end{eqnarray*}$ . Wähle eine Kurve $\begin{eqnarray*} c: I \to S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c(0)=p, \dot{c}(0)=X \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} W_{p}(X)=-\frac{d}{dt}\left(N(c(t)\right)\vert_{t=0} \end{eqnarray*}$ .

Wir betrachten nun ein speziellen Fall:

$\begin{eqnarray*} X=\frac{\partial F}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ .

Für diesen speziellen Fall erhaltet man

$\begin{eqnarray*} W_{p}(\frac{\partial F}{\partial u_{i}} )=-\frac{\partial N(F(u))}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ oder äquivalent:

$\begin{eqnarray*} W_{p}(\frac{\partial F}{\partial u_{i}} )=-\frac{\partial N(p)}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$

Das ist nun zu beweisen:

(Das Differential für eine glatte Abbildung $\begin{eqnarray*} f: S \to \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ , die auf einer regulären Fläche S definiert ist, aber ihre Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ annimmt ist gegeben durch die folgende Abbildung:

$\begin{eqnarray*} d_{p}f: T_{p}S \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$
mit der Vorschrift $\begin{eqnarray*} d_{p}f(X):=\frac{d}{dt}\left( f \circ c\right)\vert_{t=0} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c: I \to S \end{eqnarray*}$ eine glatte parametrisierte Kurve ist mit c(0)=p und $\begin{eqnarray*} \dot{c}(0)=X \end{eqnarray*}$ . )

(Nach Wikipedia: Kurz: Sei f und g differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung $\begin{eqnarray*} h=g \circ f \end{eqnarray*}$ differenzierbar. )

Sei also $\begin{eqnarray*} c: I \to S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c(0)=F(u), \dot{c}(0)=\frac{\partial F}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ eine Kurve.

Zu lösen ist nun $\begin{eqnarray*} -d_{p}N(\frac{\partial F}{\partial u_{i}})=-\frac{d}{dt}\left( N(c(t)) \right)\vert_{t=0} \end{eqnarray*}$ .

Da N und c differenzierbare Abbildungen sind, ist die Voraussetzungen für die Kettenregel erfüllt und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} - \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial N(F(u))}{\partial u_{k}} \frac{\partial F_{k}}{\partial u_{i}}=-\frac{\partial N(F(u))}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ .

Warum dieser Beweis falsch ist kann ich nicht verstehen. Hast du eine Alternative zu diesem Beweis ?

02.02.2019, 17:51

lucy21

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ODER auch kurz:

$\begin{eqnarray*} -d_{p}N\left(\frac{\partial F}{\partial u_{i}}\right)=-\frac{d}{dt}\left( N \circ c \right)\vert_{t=0}=-\frac{\partial N}{\partial u_{k}}(F(u)) \cdot \frac{\partial F}{\partial u_{i}} (u)=\frac{\partial (N(F(u))}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$

Man schreibt aber in der Differentialgeometrie meistens

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial (N)}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ und man weiß aber das es sich hie rum N(F(u)) handelt. Ist in der Differentialgeometrie üblich.

04.02.2019, 00:25

10001000Nick1

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Zitat:

Original von lucy21
Man schreibt aber in der Differentialgeometrie meistens

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial (N)}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ und man weiß aber das es sich hie rum N(F(u)) handelt. Ist in der Differentialgeometrie üblich.

Ok; habe ich noch nie so gesehen, aber nun gut.

Kann es sein, dass du auch $\begin{eqnarray*} N\circ c \end{eqnarray*}$ als Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} N\circ F\circ c \end{eqnarray*}$ interpretierst? Das ist nicht der Fall; jedenfalls nicht mit den Definitionen von C. Bär. Da bildet ja $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ab.

Eine Idee: Wenn man $\begin{eqnarray*} \tilde c: (-\varepsilon, \varepsilon)\to \color{red}{U} \end{eqnarray*}$ definiert mit $\begin{eqnarray*} \tilde c(0)= u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot{\tilde c}(0)=e_i \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (F\circ \tilde c)(0)=F(u)=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (F\circ \tilde c)\dot{}(0)=\frac{\partial F}{\partial u^i}(u) \end{eqnarray*}$ .
Nun ist $\begin{eqnarray*} N\circ F: U\to T_pS\subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ja offen ist), und damit kann man auf $\begin{eqnarray*} N\circ F\circ \tilde c=(N\circ F)\circ \tilde c \end{eqnarray*}$ tatsächlich die gewöhnliche Kettenregel anwenden:
$\begin{eqnarray*} d_pN\left(\frac{\partial F}{\partial u^i}\right) = \frac{d}{dt}((N\circ F)\circ \tilde c)(0)=\sum_{k=1}^2 \frac{\partial (N\circ F)}{\partial u^k}(\tilde c(0))\cdot \dot{\tilde c}^k(0) = \frac{\partial (N\circ F)}{\partial u^i}(u) \end{eqnarray*}$ .

Mit einer solchen Kurve $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ würde es also passen.

04.02.2019, 02:27

Finn_

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Es wurde sich eine Revision gewünscht. Nick hat schon geschrieben wie sich die Rechnung präzisieren lässt. Ich führe das nochmals aus, es ist aber dieselbe Rechnung.

Sei $\begin{eqnarray*} f\colon S\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein Vektorfeld. Sei $\begin{eqnarray*} g_i=\frac{\partial F}{\partial u^i} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c=F\circ\tilde c \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann gilt $\begin{eqnarray*} f\circ c = f\circ F\circ\tilde c \end{eqnarray*}$ .

Für eine Kurve $\begin{eqnarray*} c\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=c(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_i=c'(0) \end{eqnarray*}$ ist dann
$\begin{eqnarray*} d_p f(g_i) = (f\circ c)'(0) = (f\circ F\circ\tilde c)'(0) \end{eqnarray*}$
gemäß Definition.

Gemäß Kettenregel gilt nun
$\begin{eqnarray*} (f\circ F\circ\tilde c)'(0) = d_u (f\circ F)(\tilde c'(0)). \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} c'(0)=g_i\iff \tilde c'(0)=e_i \end{eqnarray*}$ ergibt sich also
$\begin{eqnarray*} d_p f(g_i) = d_u(f\circ F)(e_i) = \frac{\partial(f\circ F)}{\partial u^i} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} p=F(u) \end{eqnarray*}$ .

Definiert man $\begin{eqnarray*} \tilde f := f\circ F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x^i} := d_p f(g_i) \end{eqnarray*}$ , dann gilt somit
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x^i} = \frac{\partial\tilde f}{\partial u^i}. \end{eqnarray*}$

04.02.2019, 11:39

lucy21

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Ich danke euch beiden. Mir ist jetzt klar warum das bei mir falsch war. Vielen lieben dank smile

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